代数数论（algebraic number theory）是数论的一个分支。它利用代数工具来研究数论问题，研究对象是代数数域和代数整数，其中代数数域为有理数域的有限扩域。
数论大约有3000年的历史，而代数数论的建立是从19世纪德国约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Gauss）出版的《算术研究》一书开始的。他开创了同余理论的研究，通过引入复整数的概念开辟了代数数论这一新的数论分支。另一位德国数学家库默尔（Kummer）对于学科的贡献主要在于费马大定理证明的推进，他开始了理想数理论的研究，平息了当时的争议。戴德金（Dedekind）在库默尔理论的基础上，用抽象和代数化的方式讲述数论，同时避免了大量的具体计算，其1877年所写的《代数整数论》一书奠定了经典代数数论的基础。1920年，日本数学家高木贞治（Takagi Teiji）创建了类域论，他的证明综合采用了代数方法和解析方法。1933年，谢瓦莱（Chevalley）摆脱了埃米尔·阿廷（Artin）的解析方法，将类域论推广至有限域及局部域，为局部类域论的建立创造了条件。20世纪40年代开始，复杂的猜想接连被攻破。安德烈·韦伊（A.Weil）用代数几何的方法证明了函数域上类似的黎曼猜想。后来，人们相继验证了高维韦伊猜想、二维的朗兰兹局部猜想以及莫德尔猜想。1994年，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在经历了一番波折后终于实现了费马大定理的证明。
代数数论的分支有类域论以及算数代数几何，其研究可采用解析方法。该学科的基本理论包括理想的分解、理想类群、p进数域、戴德金Zeta函数、单位群以及局部数域。其中，理想数理论为著名费马大定理的证明做出了贡献。此外，代数数论的理论与成果在现实世界中应用广泛，如在通信工程领域，把信息编成二元域集合中的元素组，可以帮助检查与纠错，提升传输的准确性。
学科简介
代数数论是数论的一个分支，它通过代数工具解决数论问题，研究工具复杂而深刻，属于高等数论的范畴。该学科倾向于从代数结构的角度研究各类整环的性质，其中代数结构是指具备一个以上运算的非空集合，以群、环、域为代表。
代数数论的研究对象是代数数域和代数整数。代数数论将“数”的概念进行延伸，代数数域是有理数域的有限扩张。而将整数拓展到代数方程的根，可以得到代数整数的概念，它是指最高次项系数为1的整系数多项式的根。像不定方程求解这样的整数问题，都依赖于代数整数的研究。
历史
古代
数与自然数的概念在文字发明之前就已经产生。随着社会生产力的发展，较大整数的计数方法以及数的运算方式被发现， 人们开始探讨整数的各种性质和方程（组）的整数解（和有理数解）问题，数论由此产生，古代中国、古印度、四大文明古国都对方程的解进行了早期探索，该方程的解称为毕达哥拉斯数。而在西方，古希腊数学家欧几里得（Euclid）的名著《几何原本》共13卷，其中有3卷讲述数论，书中阐述了初等数论的基石——算术基本定理，证明了素数有无限多个。同一时期，丢番图（Diophantus）发表《算术》一书，研究了三百多个数论问题，列举了寻求一次和二次方程（组）有理数解和整数解的各种方法。
在欧洲文艺复兴时代，数学也得到复兴和发展，但主要是基于天文、航海、建筑和绘画等需要的画法几何学，数论的进展缓慢。17、18世纪的数论中心在法国，当时的数论学家除了莱昂哈德·欧拉（Euler）之外，几乎都是法国人，如阿德利昂·玛利·埃·勒让德（Legendre）、约瑟夫·拉格朗日（Lagrange）、皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Laplace）、皮耶·德·费玛（Fermat）等。1637年，费马在阅读丢番图《算术》一书时提出了一个猜想。后来，他又提出了许多猜想，引起了长城欧拉的兴趣，欧拉对这些问题的解决付出了多年的努力。
近代
近代以来，代数数论的建立是从gaussian（Gauss）出版《算术研究》一书开始的。他在书中首先引入了同余记号，系统性地给出了关于同余式的算术运算法则，并证明了多项式同余式的基本定理。高斯在证明二次互反律之后，开始研究高次同余式的反转定律，1820年前后，他为讨论双二次剩余和三次剩余理论，引入了“高斯整数”的概念，并给出了证明，但并未发表。后来，卡尔·雅可比（Jacobi）、高斯的学生艾森斯坦（F.G.Eisenstein）等人发展完善了他的理论。高斯通过建立复整数理论奠定了代数数论的基础，系统化并扩展了型的理论以及关于素数定理的研究。
另一位德国数学家库默尔（Kummer）对于代数数论的贡献主要在于费马大定理证明的推进。阿德利昂·玛利·埃·勒让德（Legendre）和狄里赫利（P. Dirichlet）分别于1825年和1828年独立地证明了的情形，莱姆（Lamé）又证明了的情形，并且在巴黎科学院的学术例会上宣布他证明了皮耶·德·费玛猜想。由于他们的证明原则上要使用环和的唯一因子分解性，奥古斯丁-路易·柯西（Cauchy）对这些证明产生了质疑，认为对于某些，可能不是唯一分解整环。1844年，库默尔（Kummer）开始了理想数理论的研究，他以为在所引进的那类代数数中唯一因子分解定理成立，但狄利克雷（Dirichlet）告诉他这是错误的。于是，他想到借助于“理想数”这一概念可使得唯一因子分解定理成立，证明了费马大定理的特殊情形，平息了当时的争论。
戴德金（Dedekind）对于代数数论的发展也功不可没，19世纪70年代，他把高斯和库默尔对于二次域和分圆域所作的研究加以一般化和代数化。与之前学者不同的是，戴德金把他建立的理想论用于数论，用抽象和代数化的方式讲述数论，并且避免了大量的具体计算。除数论之外，戴德金的工作也是代数发展的一个转折点。他在建立代数化的数论时，也建立了抽象代数的主要框架：域、环、模和向量空间，这些代数结构和埃瓦里斯特·伽罗瓦（Galois）的群论一起，形成了抽象代数的核心。其在1877年所著《代数整数论》一书奠定了经典代数数论的基础，并且提出了很多近世代数的术语概念。在1880年左右，克罗内克（L.Kronecker）通过对给定域添加未知量而引入模系的概念重新奠定了代数数域的数论基础。这样，在19世纪就有了一系列数域，包括有理数域、实数域、复数域、代数数域以及一个或多个变数的有理函数域等。
19世纪代数数论的发展被戴维·希尔伯特（Hilbert）的成就推向又一高峰。在1893—1898年期间，他主要从事代数数域理论的研究。1893年，德国数学会要求他和赫尔曼·闵可夫斯基（H.Minkowski）在两年内提交一份关于数论的报告。希尔伯特在报告《代数数域理论》中讲述了他本人对于代数数论的研究，该报告花很大篇幅讲述库默尔扩张的种（genus）理论，发明了幂剩余符号和局部希尔伯特符号来表达“明显”的互反律。他对于克罗内克—韦伯（Kronecker-Weber）定理给出了证明。基于对相对二次扩张的深刻研究，在报告中戴维·希尔伯特也对于尼尔斯·亨利克·阿贝尔扩张的各种性质进行了猜测，这些猜测在20世纪初期得到确认，也推动了类域论的建立。
1920年，日本数学家高木贞治（Takagi Teiji）创建了类域论，其证明综合采用了代数方法和解析方法。1927年，埃米尔·阿廷（Emil Artin）引入了阿廷映射，对类域论的叙述方式进行了改造，证明了一般互反律，从而完成了乔治·阿贝尔类域论的理论。后来，一些学者对类域论进行了更加深入的推广研究。希尔伯特第11问题是在研究任意数域上的多变量二次型方程的解，对于这个问题，德国数学家哈瑟（Hasse）于20世纪30年代给出了答案，并由此创造了数论中一种新的研究方法，即局部—整体原则。1933年，谢瓦莱（Chevalley）摆脱了埃米尔·阿廷的解析方法，将类域论推广至有限域及局部域，奠定了局部类域论的基础。3年后，他引入了理想元的概念，并提到借助该概念可能完成类域论的形式化。1940年，谢瓦莱将理想元改造为伊代尔（idèle），并完成了类域论的算术化工作。借助伊代尔，他通过局部类域论得到了和全局类域论相同的结果，这也被誉为第一个“从局部过渡到整体”的明确实例。此后，伊代尔概念成为了代数数论的基本概念。
戴维·希尔伯特第8个问题是：有理数域和有理整数环上的数论问题（如黎曼猜想等）能否推广到任意数域和它的整数环上。1940年，安德烈·韦伊（A.Weil）在美国研读了高斯的两篇文章，研究有限域上皮耶·德·费玛曲线和埃米尔·阿廷—施赖埃尔（Artin-Schreier）曲线的函数域，用高斯和计算出这些函数域的函数。基于此，韦伊（A.Weil）提出猜想，该猜想正是黎曼猜想在函数域上的模拟。为了证明这个猜想，韦伊（A.Weil）在1946年专门写了一本书——《代数几何原理》。1948年，他用代数几何方法完成了证明，并对某些高维代数簇在有限域上的点数作了具体的计算，同时在拓扑学的启发下提出了高维代数簇的函数零点猜想。
现代
1967年，安德烈·韦伊（A.Weil）写了《基础数论》一书。这本书讨论了代数数论在1967年以前30年的发展，也就是局部紧群和其上的测度与积分在代数数论研究中所起的作用。书中，韦伊（A.Weil）对代数数论和类域论采取了全新的观点和处理方法，成为了后人从事代数数论研究的样板。同年，美国数学家朗兰兹（Langlands）以一系列猜想的形式提出了朗兰兹纲领。这些猜想的本质是试图发现复的和p-进李群的无穷维表示理论、调和分析、代数几何与数论之间的深层联系，其对于纯粹数学的一个广阔的领域表达出一种普遍而富有哲理的观点，因此被人们称之为朗兰兹哲学。
1973年，数学家弗拉基米尔·德林费尔德（V.G.Drinfeld）证明了高维韦伊猜想。1974—1977年，他又在函数域上研究一种新型的模结构，称之为“椭圆模”，后人把这种模结构推广到高维，统称为德林费尔德模。后来，德林费尔德又在1978年和1988年分别证明了二维的朗兰兹局部猜想以及帕特森（Petersson）猜想。1983年，德国青年法尔廷斯（Gerd Faltings）证明了莫德尔猜想。他首先证明了J.H.泰勒（Tate）猜想，然后由泰勒猜想再推出关于尼尔斯·亨利克·阿贝尔簇的沙法列维奇（Shafarevich）猜想，由此也就证明了关于曲线的沙法列维奇猜想和莫德尔猜想，他使用的方法本质上是皮耶·德·费玛发明的无穷下降法。
1993年，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）吸收了梅祖尔文章中的思想后，部分解决了TSW猜想并证明了费马猜想，他于1993年6月在剑桥大学有200多名世界数学家参加的大会上，宣布了他的证明。但是，到了11月，他的导师指出其证明的漏洞。12月，怀尔斯承认存在问题，但表示会很快克服，并约请自己的学生泰勒（Taylor) 共同研究。直到1994年9月19日，他最终正确证明了费马猜想。次年5月，怀尔斯的论文《模椭圆曲线与费马大定理》发表在《数学年刊》上。
代数数论分支
类域论
简介：类域论是代数数论的重要分支。代数数域是有理数域上的有限次代数扩张，比如说添加一个次不可约整系数方程的根。对于一个固定的代数数域，可以考虑它的正规扩张域，每一个对应一个伽罗瓦群。假如伽罗瓦群是交换群（阿贝尔群），这个扩张就被称为阿贝尔扩张。类域论就是研究怎样用的元素来描述的所有尼尔斯·亨利克·阿贝尔扩张的问题。
研究成果：类域论经历了产生、发展、建立、简化和推广等阶段。其主要成果包括：戴维·希尔伯特对阿贝尔扩张有了自己的理解，提出了“相对阿贝尔扩张”等一系列猜想；富特温勒揭示了希尔伯特第9问题和第12问题之间存在联系；高木贞治重新定义了类域的概念；谢瓦莱使用了局部—整体原则，借助伊代尔的概念将类域论完全算术化。此后，类域论可进一步扩展至函数域和非阿贝尔扩张，维特证明了函数域上的类域存在定理，兰利用代数几何的方法发展了有限域上函数域的类域论。
算数代数几何
简介：算术代数几何是将代数几何学和代数数论交织在一起形成的交叉性分支。德国数学家菲利克斯·克莱因（F. Klein）认为，几何学是研究某些对象在某个群作用下不变量的理论，代数几何学是研究域上代数方程组解的性质。具体来说，代数几何学研究的对象是代数方程零点的集合，从直观上讲，它们是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面。在任意维数的（仿射或射影）空间中，由若干个代数方程的公共零点所构成的集合通常叫做代数簇。随着数学的发展，人们对高维空间的认知需求越来越明显，对高维代数簇的研究也不可避免。
研究成果：当经典的代数几何逻辑基础问题被彻底解决后，代数几何学取得巨大进展。函数域不仅是数论对象，也是几何对象（它是代数曲线的函数域），所以数学家希望对函数域算术性质的研究能得到代数几何学的结果。人们经过20世纪前30年的实例考查，终于在40年代得到重大成果。皮埃尔·德利涅证明了数论中的安德烈·韦伊猜想；法尔廷斯证明了莫德尔猜想；安德鲁·怀尔斯证明了著名的费马大定理；吴宝珠证明了朗兰兹纲领中的基本引理。
基本方法
解析方法
数论中的解析方法以函数论为工具来研究数论问题，它主要包括：伯恩哈德·黎曼函数与狄里赫利函数的理论、复变积分法以及指数和即三角和的方法等。对每个代数数域，戴德金构作了一个函数，当的实数部分大于时，定义它的级数收敛并且有无穷乘积展开，它也可以解析开拓成整个复平面上的亚纯函数，并且有函数方程把和联系起来。的各种解析特性可以反映代数数域和它的整数环的代数和数论性质，所以解析方法也是代数数论的重要研究手段。
基本理论
理想的分解
整数域中，算数基本定理成立，即每个大于的整数一定可以唯一地（在不计次序的意义下）表示为素数的乘积。但是代数数域中，这个定理不一定成立。代数数域的整数环是戴德金环，其理想可以分解为素理想的乘积。
戴德金整环的定义：环是戴德金环（Dedekind），如果
（1）是整环。
（2）是整闭环。
（3）是诺特环（Noether）。
（4）所有非零素理想是极大理想。
理想类群
定义
设为数域，称整数环内的理想为整理想。称内非零有限生成子模为的分式理想。设。定义分式理想的乘积为。记为的分式理想群，则为的子群，称的元素为主理想。以记商群，并称它为的理想类群。
性质
理想类数的定义：的全体理想类组成一个有限乘法群，以或表示这个群的元素的个数，称为代数数域（或代数整数环）的类数。
性质：理想类群是有限的。
证明：引入定理：对于的的每个理想类，必有，使得
（5.2.1）
该定理可以推出理想类数有限性的证明，在中满足式（5.2.1）的理想只有有限个，所以理想类也只能有有限个。
理想类群的另一种定义：设为数域，为的分式理想群，为的模。由全部的素理想所生成的子群记为。定义
，
称为模射线。称商群为模射线理想类群，也称模射线类群或模理想类群，它的元素为模射线类。
类域论基本定理：设为有限交换数域扩张。则存在的模和交换群同构
。
判别式
通过嵌入的方式可以将数域中的理想看成向量空间中的格，证明类数公式。
设。考虑维向量空间的几个性质。
（1）通过嵌入，把的理想看成向量空间的格。
（2）利用对函数定义，通过把的单位群看成向量空间内超平面的格。
（3）决定理想类内范数的主理想个数的渐进公式，并证明类数公式。
p进数域
定义：在有理数域中有绝对值，即对，如果，取，否则取。还有另一个办法，设整数为素数，从整数唯一分解性质知：任一唯一决定整数使可表达为
。
这时定义及。可以证明亦有绝对值同样的性质。
对每一个素数可以构造一个域，它的元素是：
，
戴德金Zeta函数
定义：对于数域，有一个自然环，叫作的整数环。它是由中满足上首项系数为的方程的根所组成，高斯引理说明。用素理想定义，可以将进赋值概念扩充到上。同时，也可以推广为上所有的非平凡赋值都是进赋值。进一步，还可以验证，虽然远比大，但确有恒等式，所以定义，可以定义数域的戴德金函数如下：
，
乘积是对的所有非零素理想实行的。这里伯恩哈德·黎曼函数与是重合的。
单位群
狄利克雷单位定理：设是次代数数域，且有成立。那么，必有个单位数是独立的。
该定理提供了乘法群单位结构的描述：
狄利克雷—赫尔曼·闵可夫斯基单位定理：单位群必有一组基，基中是单位根群的生成元素，是一组独立的单位，使得每个必可表示
，
这里是唯一确定的，是模唯一确定的。
局部数域
定义：如果特征为的完备离散赋值域的剩余域有限，则称为局部数域。
扩张：设是局部数域，剩余域有个元素，则有循环子群有个元素，投射限制至为双射。有元素使得是内其阶与互质的单位根集。
局部域上的扩张为无分歧的扩张：设有限扩张是由阶与互素的单位根集生成的，则是无分歧循环扩张。
相关猜想
费马大定理
定理内容：费马大定理是皮耶·德·费玛（Fermat）以注释的形式提出的定理，该注释写在他所抄的丢番图所著的古希腊《算术》一书的页边空白处。在笔记中，费马声称：丢番图方程没有非零解。方程可表示为：
，
其中和是整数，费马大定理表述的是时的情况。在该定理中，限制是必要的，因为有许多基本公式可以生成满足方程的无限多个毕达哥拉斯三元组，即，只有当时，。
证明：该定理的证明与代数数论的发展进程有关，库默尔意识到唯一因子分解成立是解决猜想的关键，他证明了对以内除以外的所有奇数，费马大定理都成立，取得了第一次重大突破。借助于数形结合的方法，费马大定理可转换为证明曲线没有坐标非零的有理点。后来，安德鲁·怀尔斯以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题几乎证明了费马大定理。经过1年多的修补，他发表了长文《模形椭圆曲线和费马大定理》和一篇短文，最终完成了该猜想360年的求证之旅。
应用
密码学
代数数论中的素数分解、离散对数等问题被广泛应用于密码学中。例如，RSA算法是一种公钥密码体制，其理论基础是寻找大素数容易，而分解两个大素数的积在计算上不可行。其安全性建立在素数分解的基础上，属于分组密码类型，多用在数字签名、密钥管理和认证等方面。又如，ElGamal算法是另一种公钥密码体制，其安全性基于有限域上计算离散对数问题的困难性。但是，为了使这种公钥密码算法具有足够的密码强度，一般要求模数的长度在150位以上。
物理学
准晶是内部结构介于晶体和非晶体之间的一种新状态，它的内部结构具有长程有序性，但不具有晶体结构的平移周期性。对于准晶结构的探索，很多方法针对不同的物理性质会提出不同的模型。而基于代数数论的思想可知，不论准晶结构是由什么方法构造出来的，其在适当建立的坐标系下，都具有实二次代数数的坐标表示，从而得到在实二次数域上只可能存在具有5，8，10，12次对称的准晶。由此，还可以得到，在全实代数数域上还可能存在很多不同对称性的准晶。
工程学
在工程学领域，代数数域的研究对象和方法也经常出现。现代通讯时代，各种具体信息（电报、电话、图像、数据等）都要编成数字符号进行传输，每个信息编成某有限集合元素的一个元素组。其中二次域较为常见，也常把集合取成有限域，因为它可做四则运算。例如，有8个信息在二次域上被编成代码传输，在传输中可能出现错误。为了使通信有检查和纠错能力，一个简单的办法是把每个码重复三次编成再传出，有意义的信号就组成向量空间中一个8元子集合。发出信息之后，若在信道中出两个错，就可以检两个错；如果出一个错，就可以直接把错纠正过来。
参考资料
代数数论.术语在线.2024-04-24
Fermat's Last Theorem.wolfram mathworld.2024-05-17