映射
映射（mapping）是指两个非空元素的集之间，元素之间相互“对应”的一种关系。两个非空集合A与B之间存在着某种对应关系f，而且对于A中的每一个元素a，B中总有唯一的一个元素b与它对应，称这种对应为从A到B的映射。根据集合A、B的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称，在集合中映射又称算子。在函数中例如，从非空集A到数集B的映射又称为A上的泛函，从非空集A到它自身的映射又称为A上的变换，从实数集(或其子集)A到实数集B的映射通常称为定义在A上的函数。
早在1874年德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）就提出了集合的定义，此后进一步定义了集合的子集、交集、并集、映射等一系列概念。后来1954年，法国数学团体尼古拉·布尔巴基（Nicolas Bourbaki）的《数学原本卷一：集合论》中首次提到了映射的相关概念单射、满射、双射的概念（injection、surjection、bijection）。既是单射又是满射的映射称为双射。
映射在数学、方法研究和生活中都有着广泛的应用，在数学领域用映射法可以解决函数、几何、微积分、集合、代数等问题。同时用映射法解题还有着化繁为简、化难为易、灵活性强，覆盖广的优势。映射也为网络技术和工程技术等方法研究奠定了基础。在实际生活中映射可以用于商品定价，和数据查找等。
定义
映射是指两个非空元素的集之间，元素之间相互“对应”的一种关系。两个非空集合A与B之间存在着某种对应关系f，而且对于A中的每一个元素a，B中总有唯一的一个元素b与它对应，称这种对应为从A到B的映射。
在映射中，始集()称为映射的定义域，记为或；终集()称为映射的陪域，记为或； 称为映射的值域，记为或。
映射又称算子。根据集合的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称。例如，从非空集到数集的映射又称为上的泛函，从非空集到它自身的映射又称为上的变换，从实数集（或其子集）到实数集的映射通常称为定义在上的函数。
简史
关于集合的思想最早可以追溯到古希腊的原子论学派，他们把直线看成一些原子的排列。在19世纪初期，数学界对数学分析基础的批判运动促进了集合论的诞生。1851年，波尔查诺发表著作《无穷悖论》，肯定了实无穷的存在，建立了集合等价的概念，还注意到无穷集合的某些真部分有可能等价于整体的情况。1874年，德国数学家格奥尔格·康托尔(Georg Cantor，1845-1918)创立的集合论，是现代数学的基础。在集合概念产生后，进一步定义了集合的子集、交集。并集、映射等系列概念。
1954年，法国数学团体尼古拉·布尔巴基（法语：Nicholas Bourbaki）的《数学原本卷一：集合论》（法语：Théorie des ensembles，Éléments de 数学ématique Première Partie）中首次提到了单射、满射、双射的概念（injection、surjection、bijection）。在此之前，学术界同概念使用的词是一对一关系、到上及一对一到上（one-to-one、 onto、one-to-one onto），布尔巴基（Nicolas Bourbaki）对术语进行了标准化并得到了广泛认可，最终形成了如今的数学名词。
性质
性质1：映射中的两个集合，可以是数集、点集或者由图形组成的集合以及其他元素的集合。
性质2：映射是有方向的，到的映射与到的映射往往是不同的。
性质3：映射要求对集合中的任何一个元素在集合中都有像，而这个像是唯一确定的。这种集合中元素的任意性和在集合，中对应的元素唯一性构成了映射的核心。
性质4：映射允许集合中的某些元素在集合中没有原像，也就是说像集(值域)是的子集。
性质5：映射允许集合中不同的元素在集合中有相同的像，即映射只能是“多对一”或者“一对一”，不能是“一对多”。
构成映射的三要素
（1）集合，即定义域。
（2）集合，即限制值域的范围：。
（3）对应法则，使每一个，有唯一确定的与之对应。
映射值域性质
（1）。
（2）若，则，且。这里表示的基数。
相关定理
定理1：设是一个映射，则是双射当且仅当对任意的,存在唯一的，满足。
证明：设是双射，由是满射知，对任意的，存在，使。假设，则由是单射知，，满足的是唯一的。
定理2：映射的合成满足结合律，即如果,,是映射，那么。
证明：与都是到的映射。任取,由及
，得到。
相关推论
设是一个映射，则集合称为映射的定义域，若则映射称为上的变换。由此变换可以推出以下两种典型的映射。
恒等映射
设是一个集合，满足，，则为上的映射，称为上的恒等映射，记为。
包含映射
设是集合的非空子集，则，，是一个映射，称为集合到的包含映射。
分类
满射
设是一个映射。若，则称是满射。
单射
设是一个映射。若，且，则称是单射。
双射
设为两个非空集合，如果有某一法则，使得每个有唯一确定的和它对应，则称为到内的映射，记为。
若由任意，可推得，则称为单射；若对任意，存在，使得，则称为满射；若既是单射又是满射，则称为双射。
合成映射
设，是映射。令，，，则称为与的合成映射，记为。
逆映射
如果是双射，那么定义映射，其中，和满足。可得，映射满足，。这样就称是的逆映射，记为，并称是可逆的。
复合映射
设有两个映射，其中，从而可以定义一个由到的对应法则，它将每个映成。我们将这个映射称为映射和构成的复合映射，记作，即。由定义可知，映射和构成复合映射的条件是的值域必须包含在的定义域内。和的复合是有顺序的，和一般是不同的。
应用
数学
映射在数学中有着广泛的应用，利用映射法可以解决数学中的问题，例如函数、微积分、集合、代数等。关系(relationship)一映射(mapping)一反演(iuversion)方法(简称RMI方法)，是在现代数学研究中实现化归的一种重要方法，与一般的化归方法相比，这种化归方法达到了更高的抽象程度，从而在数学中有更为重要和广泛的应用。它是化归方法的最一般描述。
用映射法解决问题，有化繁为简、化难为易、化未知为已知的作用，同时还有灵活性强，覆盖面广的优势。解析几何学的产生，就是应用映射法的成功案例。它通过坐标系建立了数和点、方程（ 或函数）和曲线等的有机联系，使数与形达成统一，从而可方便地应用分析的的方法研究几何问题。如通过一元微分学研究平面曲线的单调性、凹凸性、切线、峰与谷等性态。
方法研究
网络技术
将片上网络技术(Network on Chip，No C)应用于多片ADC时间交织数据采集系统中，可以克服传统片上系统(System on Chip，So C)采用总线结构所带来的时钟同步难、通信带宽低和可扩展性差等问题。映射的目的是确定任务图中各功能节点在NoC拓扑结构中的位置，是实现数据采集系统低延时和高带宽的重要手段之一。
在不断变化的物理世界中，数字孪生模型将传感器收集的真实数据映射到虚拟空间中具有挑战性，存在映射数据量多、资源消耗大等问题。提出了一种自适应的数据映射机制来解决能源互联网的数据问题，能够实现映射点的动态选择，有效减小了映射数据量和能耗且对虚假数据注入攻击的检测影响极小。
网络虚拟化技术的应用依赖于将虚拟网络映射到底层基础设施的虚拟网络映射算法。现有虚拟网络映射算法的物理资源使用率较低，对于映射结果的优化较少。设计一种保持节点相邻的虚拟网络映射算法。就可以在略微降低映射效率的情况下，尽可能地保持相邻的虚拟节点在实际物理网络中的相邻，从而大大地缩短了物理链路，提高了物理资源的利用率;同时优化映射结果，提高了虚拟网络的工作效率，从而提高了服务质量。
通过对广义周期点阵结构的等效性能均匀化映射方法的研究，可以很好地用于广义周期点阵结构等效性能预测, 在静力学、动力学等方面都具有良好的计算精度, 对于轻质点阵结构的承载性能分析与设计具有重要的应用价值。
医疗技术
构建一套通用的、自动化的数据标准映射方法，解决不同医疗机构之间临床数据交流时数据转换的问题。方法采用基于大模型的多层级映射方法，来实现不同电子病历与CDA标准文档之间的表名和字段名的映射，并在原始标准病历和CDA标准上进行实验验证。结果实验结果表明，该方法可以自动映射74.4%的数据元到CDA标准数据元，准确率达到69.6%。结论基于大模型的多层级映射方法可用于不同的临床电子病历转换场景，与传统人工以及基于知识图谱的方法相比，该方法更加通用灵活，效率更高。
实际生活
商品定价
映射用于超市商品的定价，例如表示某超级市场中的全部商品，每件商品都得标出价格，于是，商品定价工作就是建立从到的一个映射。
数据查找
作为一个集合，集允许你快速地查找现有的元素。但是，要查找一个元素，需要有所查找的那个元素的准确副本。这不是一种常见的查找方式。通常，我们知道某些关键信息，希望查找与之关联的元素。映射(map)数据结构就是为此设计的。映射用来存放键/值对。如果提供了键，可以查找一个值。例如，可以存储一个员工记录表，其中键为员工ID，值为Employee对象。
参考资料
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I).MacTutor.2023-08-12