实数
实数，是有理数和无理数的总称，前者如0、−4、817；后者如、等。实数可以直观地看作小数（有限或无限的），它们能把数轴“填满”。但仅仅以枚举的方式不能描述实数的全域，实数的全体称为实数集或实数域，记为。实数和虚数共同构成复数。
实数可用于测量连续一维量（例如距离、持续时间或温度）。连续意味着值对可以有任意小的差异。每个实数几乎都可以通过无限十进制展开来唯一地表示。
古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度，这彻底地打击了他们的数学理念；而有理数集存在“缝隙”这一事实，由此引发了第一次数学危机。从古希腊一直到17世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、格奥尔格·康托尔等人对实数进行了严格处理。实数具有序性、绝对性、完备性、阿基米德性质。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数。实数是微积分的基础，可以运用到数学、生活、物理和计算机领域。
定义
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数、负实数和零三类。有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。分数可以分为正分数和负分数，常见的有理数有整数、分数、有限小数、无限循环小数，如2001，，3.12，0.313313等。无理数可以分为正无理数和负无理数，常见的无理数有、、。实数集合通常用字母或表示。而表示维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。即实数集中的任意一个实数与数轴上的点是一一对应的。此外，实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如{3，3.1，3.14，3.141，3.1415…}所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。
实数的公理化定义
所谓实数，其全体构成“实数空间”，是具有下列性质的任一集合：
1）是一个域，即中的元素可以作四则运算。也就是说，首先有加法和乘法，并且满足
中有一个元素“0”，对一切有；又有一个元素“1”，对一切有
对中每一个元素，相应有一个元素(记为)使得。如果 则又相应有一个元素(记为)使得。设，则减法就是如果，则除法就是这样在中就有了全部四则运算。
2）是一个“序域”，即除满足1）外，分为三个互不相交的部分，第一个部分记做，其中的元素叫做“正数”。第二个部分只有一个元素“0”。第三个部分是，其中的元素叫做“负数”。但要求满足调节 （2）
如此，便可在中定义大小次序：如果，则说。特别，若，则；反之亦然，有了正、负数以后，于是就可以定义“绝对值”：
对一切，我们有。事实上，如果， 则由所满足的条件(2)式，如果则同样由(2)式，。特别，记叫做“自然数”，它们全体记为。
3）是一个“阿基米德序域”。意思是说除满足条件1）和2）以外，还满足 （3）
这个条件的作用在于。如果，则可证明一定存在“有理数”（，为正数，）使。就是说，任意两个“实数”之间均有有理数。
4) 有连续性，就是说，除了满足1)、2)、3)以外，还要求连续性命题成立。一般要求有完备性，即 Cauchy 数列收敛。由于等价性，自然其余的连续性命题也都成立。
以上四条叫做实数公理，实数是由这四条公理定义的，实数的一切性质，都可以从这四条公理推导出来，这四条公理可以综合为实数公理，即“实数空间”是一个完备的Archimedes序域。
简史
人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，无法完全精确地表示这条对角线的长度，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。这彻底地打击了他们的数学理念；而有理数集存在“缝隙”这一事实，由此引发了第一次数学危机，最后由开方与不可公度问题发现了无理数。
到了17世纪，人们开始脱离其几何原型抽象地认识实数，实数在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。1871年，德国数学家格奥尔格·康托尔（Cantor，GFP）第一次提出了实数的严格定义。19世纪中叶，人们发现对实数，特别是无理数的认识仍模糊不清，这促使一批数学家关注于处理无理数的问题。因此在将近半个世纪的时间里，他们建立了多种形式上不同，而实质上等价的严格的实数理论，各种形式的构造性实数理论，都是首先从有理数出发去定义无理数。即：数轴上有理点之间的所有空隙(无理点)，都可以由有理数经过一定的方式来确定。然后证明这样定义的实数（原有的有理数和新定义的无理数）具有人们原来熟知的实数所应有的一切性质，特别是连续性。
这些形式上不同的实数理论也就因确定空隙的方法不同而互相区分，它们主要有：戴德金(Dedekind，J.wR）用有理数的分割的方法；格奥尔格·康托尔用有理数的基本列的方法；卡尔·魏尔施特拉斯（Weierstrass，K（T.W）用无穷(非循环)十进小数的方法，以及用端点为有理点的闭区间套和有界单调有理数列的方法。站在现代数学的立场来看，上述各种方法都是从假定实数具有某种特性出发的，而这些特性在实数范围内都是等价的，因而用这些方法定义出的实数都是完全相同的。此外，还有一种与上述构造法完全不同的定义实数的方法，那就是戴维·希尔伯特（Hilbert,D于1899 年提出的公理化方法）。他将实数应有的些基本性质列为一个公理系统，然后将满足这个公理系统的对象定义为实数，基于这些公理的实数理论与上述基于构造法的也互相等价。
概念
正数
在表示拒用相反意义的量的多少时，其中一种量可以用原来学过的除0以外的自然数和分数来表示，现在其为正整数和正分数，统称为正数。为了进一步强调他们是正数，还可以在除0以外的数的前面加上一个“”号（读作“正号”），如
负数
负数是一种实数，指正数的相反数。在除0以外的自然数和分数的前面加上一个“”号（读作“负号”），如。此外，还规定“0”既不是正数，也不是负数。
复数
的数被称为复数，其中表示实数集合称为虚数单位，称实数，分别为复数的实部和虚部，常记为。
当实部时，称为纯虚数；当虚部时，就是实数。因此，全体实数是复数的一部分，复数是实数的推广，。
有理数
整数的扩充、整数、分数统称为有理数；或将分数成为有理数，其中为整数，；或将整数、有限小数、无限循环小数统称为有理数。由有理数的定义知，任何有理数都可以写为有限小数或无限循环小数的形式。
无理数
无理数是一种特殊的实数，无限不循环小数为无理数，由于无理数不能表示成两个整数比的形式，故又称非比数。
数轴
数轴，亦称数直线。数学的基本概念之一，指规定了原点、方向和长度单位的直线。实数与数轴上的点一一对应，并用点能够表示它对应的实数。
代数数
代数数，一种特殊方程的根，若数满足一个有理系数代数方程。
则称为一个代数数，若此方程的系数都是正数，则称为代数整数。若所满足的最低次的代数方程的次数是，则称为次代数数，称为的次数。
超越数
一种特殊的实数，不是代数数的实数，即不存在任何非零整系数多项式，使是方程的根。如圆周率和自然对数的底都是超越数。
性质
四则运算性质
任意两个实数的和、差、积或商（除数不为0）仍是实数，且有下列性质（表示任意；表示存在）：
加减法性质
对，均有，且有
加法交换律：
加法结合律：对，有
是特殊实数，对
对，存在唯一的，使
减法是加法的逆运算，可用性质来定义：。如此，减法便可归结为加法。
乘除法性质
对，有，且有
乘法交换律：
乘法结合律：
是特殊实数，对，有
对，存在唯一的，使
除法是乘法的逆运算，可用性质来定义：，除法便可归结为乘法。
乘法对加法的分配律
乘法对加法运算还有以下性质：
对有
在一个集合上，如能定义类似于实数的加法和乘法的两种运算及其逆运算，且具有上述的所有运算性质时，就称这个集合为“域”，因此实数集合也称为实数城。此外，有理数和复数也都是数域。
有序性
以表示任意；表示存在，对，以下三种情况：必有一个且只有一个成立。
其中不等式有以下性质：
自反性：即与等价
传递性：若，，则
对，若，则
对任意正实数，若，有
实数的稠密性：即若且，则使
绝对值
绝对值的定义。以表示任意；表示存在，对，有。的绝对值表示点与原点间的距离。
绝对值的主要性质：，等号当且仅当时成立；对有；
距离公理：对，表示与两点间的距离，具有三个最基本的性质：
(a)对称性；
(b)非负性，且等号当且仅当成立；
(c)三角不等式 对，成立不等式
以上三个性质是描述距离的本质的性质，叫距离公理。如果在某个集合之中，对于其中任意的两个元素 、，可以定义一个非负的实数与之对应，且具有距离公理的三个性质，那么这个集合的元素便可称作为点，就表示点 与间的距离，而这个集合也就被称作距离空间。实数集就是一个距离空间。
完备性
作为度量空间或一致空间，实数集合是一个完备空间，它有以下性质：所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
实数系的完备性(completeness of real numbersystem )指实数系对极限运算封闭，也指对实数使用由有理数构造实数的方法不能再得到新的数，它是区分有理数系与实数系的关键性质。
实数和有理数的本质区别在于实数具有完备性，而有理数不具备完备性。实数的完备性是指它有连续的结构，即实数与数轴上的点可以建立一一对应的关系。而有理数则不然，像就不是有理数，而数轴上总有与对应的点，这个点不能与任何有理数相对应。如用有理数和数轴上的点作对应关系，数轴上将有许多不能和有理数相对应的“空隙点”。如果将有理数扩充为实数，则可以证明。实数与数轴上的点有一一对应的关系。这就说明实数结构就如数轴一样，由它的点连续布满，这就是完备性。
阿基米德性质
阿基米德性质(Archimedean property) 是实数系的重要性质之一，指对任意正数及实数 ，存在正整数，使，在几何上这意味着，无论多长的线段，都能用有限条不管多短的等长线段覆盖；也就是无论采用多短的线段作单位，都能在有限次内把无论多长的线段量完。这个性质是阿基米德(Archimedes)在其著作《论球与圆柱体》中明确提出的。
阿基米德性质还有几种等价形式：
1.对任意实数，存在正整数
2.对任意正数，存在正整数，使
3.若实数满足以下条件：对任意正整数有，则
4.正整数集无上界。
拓扑性质
实数集构成一个度量空间，和间的距离定为绝对值。作为一个全序集，它也具有序拓扑。实数的拓扑性质为：
是可分空间。在中处处稠密。
的开集是开区间的联集。
的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。
每个中的有界序列都有收敛子序列。
是连通且单连通的。
中的连通子集是线段、射线与本身。由此性质可迅速导出中间值定理。
高级性质
实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过格奥尔格·康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为，即自然数集的幂集的势。
由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。事实上这假设不能被证明是否正确，这是由于它和集合论的公理不相关。
所有非负实数的平方根属于，但这对负数不成立。这表明上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于R。这两个性质使成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。
L\u0026ouml；wenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；超实数的集合远远大于，但也同样满足和R一样的一阶逻辑命题。满足和一样的一阶逻辑命题的有序域称为的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在中证明要简单一些），从而确定这些命题在中也成立。
应用
数学领域
测量连续的量
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后位，为正整数，包括正数）。
非线性方程
实数的四则运算法则可以用来求解一次方程，以方程为例，其中是实变量的非线性实单值函数。满足方程的实数，即使成立的实数称为非线性方程的解。
集合论
实数通常使用集合论的恩斯特·策梅洛弗兰克尔公理化来形式化，但一些数学家使用数学的其他逻辑基础来研究实数。特别是，实数也在逆向数学和构造性数学中进行研究；在集合论，特别是描述性集合论中，贝尔空间被用作实数的替代，因为实数具有一些拓扑特性（连通性），这在技术上带来了不便。贝尔空间的元素被称为“实数”。
生活领域
例：已知第一个立方体纸盒的棱长是7，第二个正方体纸盒的体积要比第一个纸盒的体积大169，试求第二个正方体纸盒的棱长。
解：由第一个正方体纸盒的棱长是7，可知其体积为343；由第二个正方体纸盒的体积要比第一个纸盒的体积大169，可知第二个纸盒的体积为512而可求出第二个正方体纸盒的棱长。
因为是512的立方根，所以所以第二个正方体纸盒的棱长为8。
物理领域
在物理科学中，大多数物理常数（例如万有引力常数）和物理变量（例如位置、质量、速度和电荷）都是使用实数建模的。事实上，经典力学、电磁学、量子力学、广义相对论和标准模型等基本物理理论都是使用基于实数的数学结构（通常是光滑流形或希尔伯特空间）来描述的，尽管使用物理量得出的实际测量在准确度和精密度上比较有限。
计算机领域
在计算机中，无法对任意实数进行运算，因为有限计算机无法直接存储无限多个数字或其他无限表示。它们通常也不对任意可定义的实数进行运算，通常使用称为浮点数的有限精度近似值。
参考资料
real number.Oxford Reference.2024-02-18
Computing numerically with functions instead of numbers" (PDF)..Mathematics in Computer Science.2024-02-18