自由模（英文：free 模组），是模论的基本概念之一，其定义为：设R是一个有单位元1(≠0）的交换环，若M是一个R-模，且R模M有一基，则M叫做一个自由R-模。
环与模的关系密切，将一个域上的向量空间概念加以推广，可得到环上模的概念。早在19世纪，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）就考虑过多项式环上的模，但当时并没有模的概念。直到1871年，德国数学家戴德金（Dedekind）在出版的狄利克雷《数论讲义 第二版》上对有理整数的同余理论进行了推广，提出模的概念并首先使用模的术语。随后，许多学者对自由模与投射摸展开研究，1955年，塞尔（Serre,J.P.）提出著名的塞尔猜测；1958年，卡普兰斯基（Kaplansky,I.）得出结论：交换诺特局部环上每个有限生成的投射模是自由的。而对于自由模的素子模，王芳贵和宋传宁等学者得出了有限自由模的素子模的结构定理和自由模的素维数等相关理论。
自由模具有一些重要性质，如若为一个有单位元的交换环，是一个有有限基的自由-模，则的一个基所含元素的个数称为自由-模的秩。特殊环上的自由模性质特殊，其在主理想整环上的性质与有限生成模的标准分解定理和不变量定理有关，这些结论可以应用于有限生成模的构造。在模论中，投射模是比自由模更一般的模，它与平坦模和自由模是刻画模范畴性质的重要概念，三者之间有着紧密关联。自由模在现实世界中也具备应用价值，如在密码学中，交换环上的自由模可用于设计一个更为一般的完善的秘密共享方案。
定义
模
模的定义：设是一个乔治·阿贝尔（Abel）加法群，是一个有单位元的环。如果到有一个映射：，并且满足下列4条法则：，有
；
；
；
，
那么称是环上的一个左模或一个左-模。
当上述4条法则的乘法运算一次交换律，即，类似地，可验证成为一个右-模，则称是一个-模。
模的基：设为一个单位元的环，为一个-模，如果的任一非空子集，使得
(1)中每个元素能表示成中有限多个元素的-线性组合：，其中
；
(2)的任一有限子集是-线性无关的，即从可以推出；
那么称是的一组基。
自由模
定义：若模有一基，则叫做一个自由-模。
一个模总是可以找到一组生成元，但不一定有基。例如，有限交换群作为一个-模，则不是自由模。
简史
1871年，德国数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind）在出版的狄利克雷（P.G.L.Dirichlet）《数论讲义 第二版》中引进了代数数及代数整数的概念，在研究有理整系数代数方程的过程中定义了体（Körper），随后对有理整数的同余理论进行了推广，得出了模的概念，把模定义为：对加和减这两种运算均封闭的实数系或者复数系。1905年，拉斯克尔（E.Lasker）在著作《模和理想论》(Zur Theorie der Moduln und Ideale）中，介绍了模和环的理想等概念，并在戴德金的基础上进一步发展了模代数。
环与模范畴的关系密切，将一个域上的向量空间概念加以推广，可得到环上模的概念，模范畴的性质主要由一些模类如平坦模、投射模、自由模、内射模等来刻画。1955年，数学家塞尔（Serre,J.P.）提出著名的塞尔猜测是关于投射模与自由模的重要命题，后被奎伦（Quillen,D.G.）和苏斯林（Cycm,M.A.）得以证明，并给出了更强的结果：当环是主理想整环时，每个投射模都是自由模。1958年卡普兰斯基（Kaplansky,I.）得出结论：交换诺特局部环上每个有限生成的投射模是自由的。后来，2003年，迪莱克（P.Y.Dilek）在《关于有限生成自由模的素数子模》(On prime submodules of finitely generated free modules）中研究了交换整环中有限生成自由模的素子模。之后，对于自由模的素子模，许多学者对其开展了相关研究工作，得出了有限自由模的素子模的结构定理和自由模的素维数等相关理论。
举例
1.对于任意一个正整数以及实数域，所有维实向量构成的集合为一个自由-模；
2.矩阵环为一个自由-模，它以为一组基，它的维数为；
3.多项式环为一个自由-模，它以为一组基，它是无限维的；
4.采用标准记号，规定零模也为一个自由模，其生成集（基）为空集。
性质
1.设为一个有单位元的交换环，是一个有有限基的自由-模，则的一个基所含元素的个数称为自由-模的秩。零模是自由模，规定它的秩为。（自由模的秩）
2.对每个含幺环及每个非空集，总存在上的自由-模。（存在性）
3.令是非空集上一自由模，则也是上自由模当且仅当存在唯一的-同构，使得。（唯一性）
4.设为一个自由-模，为它的一基，设为任一个-模，为的任一个子集，于是映射恒可唯一地扩充成到的一个-同态。
推论：设为一个以元素为基的自由模，则；
5.设为一个交换幺环，为一个自由-模，则的任意两基有相同的基数。
推论：设为一个交换幺环，若和成模同构，则；
6.设为一个自由-模，为两个任意-模而且是任意一个满同态，于是到的任一个模同态恒可提升为到的一个模同态使得，其中横行表示是满射。
推论：设是一个满的模同态，若是一个自由模，则存在的一个子模使得。
相关概念
模的直和
设为同一个环上的模，首先作加法群，的直和，然后规定对的作用为：，对于，则成为一个-模。叫做-模 的直和，可简记为。
素子模
设是-模，是的子模，记，则是的理想，且当且仅当。若由能推出，或者，则称的准素子模或-准素子模。当时，准素子模就称为素子模，或-素子模。
特殊环上的自由模
首先给出扭模与无扭模的定义，它们描述了主理想整环上自由模的性质。
定义：设是一-模，如果有使，则称中元素称为扭元素；如果不存在中非零元素使，则称为自由的。如果中每个元素都是扭元素，则称为扭模；如果中每个非零元素都是自由的，则称为无扭模。
主理想整环
定义：有单位元的无零因子的交换环称为整环。如果的每一个理想都是主理想，那么称是一个主理想整环。
主理想整环上自由模的一些性质：
1.设为一主理想环，为一自由-模，秩为。于是的任一子模也是自由-模，秩；
2.主理想环上无扭的有限生成模一定是自由模；
3.设是主理想环上一有限生成模，那么无扭，因而是自由的；
4.主理想环上任一有限生成模都可以分解成它的扭子模与一自由子模的直和，的秩是被唯一决定的。此外，该性质还可应用于构造一个有限生成阿贝尔群。
相关定理
有限生成模分解
有限生成模的标准分解定理
第一标准分解：主理想环上任一有限生成模都可以分解成一自由子模与若干个循环模的直和，即，其中，为互不相伴的素元素，且。被唯一决定，称为的秩。
唯一性：在第一标准分解中，自由子模的秩以及的零化子组是被唯一决定的。
第二标准分解：主理想环上任一有限生成模都可以分解成一自由子模与若干个循环模的直和，即，其中，且。
唯一性：在第二标准分解中，自由子模的秩与的零化子组是被唯一决定的。
上述结论可以用于整数环上有限生成模的构造：设为一个有限生成阿贝尔群，即为一个有限生成-模，可以写成一个扭子模和一个自由子模的直和，的秩是的一个不变量，设的秩为，则。
设为主理想环上一个秩自由模，为它的一个子模，于是存在的一基使得构成的一基，而且，除相差一个单位因子外由唯一决定，叫做的不变量，是子模的秩，是商模的秩，是商模的不变因子。
此外，上述定理的一个等价定理如下，它们说明了基与生成元的变换与矩阵的变换之间的关系。
设为主理想环上任一个矩阵，则等价于下列矩阵，
，
其中不为零，且。除相差一个单位因子外由唯一决定，叫做的不变因子，叫做的标准形。
素子模
有限自由模的素子模的结构定理：设是环的素理想，是秩为的自由-模，是的一组-基，那么的属于素理想的素子模的形式为，其中是上线性无关的元。
自由模的素维数：设为环上的有限自由模，则自由模的素维数计算公式为。
推广
投射模
定义：设是左-模，若有左模使同构于自由模，则称为投射模。
投射模与自由模的关系：
1.自由模一定是投射模，当环是主理想整环时，每个投射模都是自由模；
2.域上的多项式环是主理想整环，那么上的每个有限生成的投射模都是自由模；
3.交换诺特局部环上每个有限生成的投射模也是自由的。
4.投射模可看成是自由模的推广，类似自由模，每个模都是投射模的同态像。
此外，对于右-模有类似的定义与性质。
平坦模
定义：右-模称作平坦的，如果对于每个单同态，其诱导-同态也是单同态。类似地，可定义平坦左-模。
平坦模与投射摸的关系：
1.投射模一定是平坦模，反之不一定成立；
2.环上每个左平坦模是投射模的充分必要条件是，环是左完全环。
三者关联
首先给出局部有限的艾米·诺特的连通的分次代数的定义，即形如，且满足
(1)是诺特的（未必是有限维）；
(2)每个向量空间都是有限维的；
(3)是任意一个基础域。
（在没有特别说明时，均为满足以上3个条件）
三者之间的关系：
(1)设是局部有限的诺特的连通的分次代数，，则是平坦的是投射的是自由的；
(2)设是一个局部有限的艾米·诺特的连通的分次代数，如果，则有限（Finitistic）维数猜想对于是成立的。
应用
密码学
秘密共享是密码学中的常见问题：一个管理者与个参与者希望共享一个秘密，从安全考虑，管理者将这个秘密分成份，分别给每个参与者一份，使得参与者的某些子集可以恢复出秘密，这种子集称为授权子集，参与者的其它子集称为非授权子集，无法得知秘密。对于该问题，在萨莫尔（Shamir）和布莱克利（Blakley）于1979年提出的-门限方案的基础上，基于交换环上的自由模，可以设计一个更为一般的完善的秘密共享方案。