局部环

在数学中，局部环是只有一个极大理想的交换含幺环。局部环的概念由 Wolfgang Krull 于1938年引入，称之为Stellenringe，英译 local ring 源自扎里斯基。

定义

设R为交换含幺环。若R仅有一个极大理想m，则称R（或）为局部环。域称为R的剩余域。

若R中仅有有限个极大理想，则称之为半局部环。

一个局部环上带有一个自然的m-进拓扑，使得R成为拓扑环；其开集由生成。当R为诺特环时，可证明R为豪斯多夫空间，且所有理想皆是闭理想。

设为局部环，环同态被称为局部同态，当且仅当。

例子

域是局部环。

形式幂级数环是局部环，其中k是个域。极大理想是。

取系数在或上，原点附近收敛半径为正的幂级数，它构成一个局部环，极大理想表法同上。

凡赋值环皆为局部环。

设R为任意交换环，p为素理想，则相应的局部化是局部环；这也是局部环应用的主要场合。若已是局部环，则。

局部环的商环仍是局部环。

动机与几何诠释

局部环意在描述一个点附近的函数“芽”。设X为拓扑空间，或，且。考虑所有资料，其中U是x的一个开邻域，而是连续函数。引入等价关系：

且W是x的开邻域。

换言之，若两个函数在x附近一致，则视之等同。上述等价类在逐点的加法及乘法下构成一个环，其元素称作在x的连续函数芽，它体现了连续函数在x附近的行为。若满足，则存在一个x的开邻域U及连续函数，使得且f恒非零，因此可定义乘法逆元。于是是局部环，其唯一的极大理想是所有在x点取零的函数，剩余域则是F。

类似想法可施于微分流形、解析流形或复流形，稍作修改后亦可推广至代数簇与概形。

在代数几何与复几何中，假设适当的有限性条件（例如凝聚性），若一陈述对某一点的芽成立，则在该点的某个开邻域上皆成立；就此而论，局部环集中表现了一点附近的局部性质。

在交换代数中，局部化的技术往往可将问题化约到局部环上；因此交换代数的许多定义与结果都落在局部环的框架内。

非交换的情形

一个含么环R被称作局部环，当且仅当它满足下述等价条件：

R 仅有一个极大左理想。

R 仅有一个极大右理想。

，且任两个非可逆元的和仍为非可逆元。

，且对任何元素x,x或必有一者可逆。

，若R中某个有限和是可逆元，则其中某项必可逆。

当上述任一性质成立，则下述三者等同：

• R 的唯一极大左理想。

• R 的唯一极大右理想。

• R 的Jacobson根。

对于交换环，上述定义化为交换局部环的原始定义。

参考资料

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