同态是抽象代数中两个代数结构（例如群、环、或者向量空间）之间的一种映射，它保持结构不变。这意味着，如果M和M′是两个乘集，σ是M射到M′的映射，且对于M中任意两个元素a和b，都满足σ(a*b)=σ(a)*’σ(b)，那么σ被称为M到M′上的同态。同态的概念源于希腊语，其中ὁμός (homos)表示"相同"，μορφή (morphe)表示"形态"。
定义
同态是从一个代数结构到同类代数结构的映射，它保持所有相关的结构不变，包括幺元、逆元、和二元运算等属性。如果 σ 是单射，则称为单同态；如果 σ 是满射，则称为满同态。如果σ是双射，则称为同构。如果M和M'都是群，那么同态也叫做群同态。
非正式表述
在抽象代数中，最有意义的函数是那些能够保持集合上的运算不变的函数，即同态。例如，自然数上的函数f(x) = 3x就是一个同态，因为它保持了加法运算的结构。同态不仅限于映射到带有相同运算的集合，也可以是从一个运算的集合映射到另一个不同运算的集合，例如从带加法的实数集到带乘法的正实数集的映射。同态还保持幺元，即如果一个集合中存在幺元，它将被映射到另一个集合中的幺元。
同态的类型
同态可以根据其特性被分类为不同的类型：
- 同构（isomorphism）：双射的同态，两个结构在同构映射下无法区分。
- 满同态（epimorphism）：满射的同态。
- 单同态（monomorphism）：单射的同态。
- 双同态（bimorphism）：既是满同态也是单同态的映射。
- 自同态（endomorphism）：从结构到其自身的同态。
- 自同构（automorphism）：既是自同态也是同构的映射。
同态的核
同态f:X→Y定义了X上的等价关系~，即a~b当且仅当f(a)=f(b)。这个等价关系是X上的同余关系，允许在商集X/~上自然地定义结构。在某些情况下，如群或环结构，核可以决定商集的结构，通常记作X/K。
关系结构的同态
在模型论中，同态的概念扩展到同时涉及运算和关系的结构。对于两个L-结构A和B，从A到B的同态是映射h，它保持函数和关系的结构不变。
同态和形式语言理论中的无幺元同态
在形式语言理论中，同态被用于研究字母表上的字符串。如果函数h满足h(uv)=h(u)h(v)，则称为同态。如果h对于所有非空字符串x都满足h(x)≠e，则称为无幺元同态。