雅可比矩阵
在向量分析中，雅可比矩阵（也称作Jacobi矩阵，英语：Jacobian matrix）是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。当其为方形矩阵时，其行列式称为卡尔·雅可比行列式（Jacobi determinant）。雅可比矩阵的重要性在于，如果函数 f : ℝn → ℝm 在点 x 可微的话，在点 x 的雅可比矩阵即为该函数在该点的最佳线性逼近，也代表雅可比矩阵是单变数实数函数的导数在向量值多变数函数的推广。在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。它们全部都以普鲁士数学家卡尔·雅可比命名。
基本定义
假设某函数从 f : ℝn → ℝm，从 x ∈ ℝn 映射到向量 f(x) ∈ ℝm，其雅可比矩阵是一 m×n 的矩阵，也就是从 ℝn 到 ℝm 的线性映射，表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。雅可比矩阵的第 i 行是由函数 f_i 的梯度函数所表示的，1 ≤ i ≤ m。如果 p 是 ℝn 中的一点，f 在 p 点可导数，根据数学分析，J_f(p) 是在这点的导数。在此情况下，J_f(p) 这个线性映射即 f 在点 p 附近的最优线性逼近，也就是说当 x 足够靠近点 p 时，我们有 f(x) ≈ f(p) + J_f(p) ⋅ (x - p)。
在向量微积分中，卡尔·雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。
还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个群簇，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以数学家雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。
雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。
下：
MATLAB
MATLAB中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数。
matlab
SYMS r l f
x=r*cos(l)*cos(f);
y=r*cos(l)*sin(f);
z=r*sin(l);
J=jacobian([x;y;z],[r l f])
结果：
J =
[ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)]
[ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]
[ sin(l), r*cos(l), 0 ]
面积元
关于这个的一般性证明稍微复杂点，现在就给你证明为什么二维的成立
,那么这个曲边四边形ABCD可以近似看成是微小向量和张成的。利用中值定理可知：
这里的M，N是偏导数的形式，不好打出，你可以自己算出来，很简单的。
当变化量很小时，我们把近似看成，看成，所以，
而其中的M*N刚好就是二维Jacobi行列式的展开形式。
由此问题得证。
动力系统
考虑形为 x' = F(x) 的动力系统，F: ℝ^n → ℝ^n。如果 F(x_0) = 0，那么 x_0 是一个临界点。系统接近临界点时的行为跟 J_F(x_0) 的特征值相关。
雅可比行列式
如果 m = n，那么 F 是从 ℝn 映射到 ℝn 的函数，且它的雅可比矩阵是一个方阵。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。在某个给定点的雅可比行列式提供了 F 在接近该点时的表现的重要信息。例如，如果连续可微函数 F 在 p 点的雅可比行列式不等于零，那么它在该点附近有 F 的反函数。这称为反函数定理。更进一步，如果 p 点的雅可比行列式是正数，则 F 在 p 点保持定向；如果是负数，则 F 逆转定向。而从卡尔·雅可比行列式的绝对值，就可以知道函数 F 在 p 点附近是放大或缩小体积；这就是它出现在换元积分法中的原因。
逆矩阵
根据反函数定理，一个可逆函数（存在反函数的函数）的雅可比矩阵的逆矩阵即为该函数的反函数的雅可比矩阵。即，若函数 F: ℝ^n → ℝ^n 在点 p ∈ ℝ^n 的雅可比矩阵是连续且可逆的，则 F 在点 p 的某一邻域内也是可逆的，且有 J_F^(-1) ∘ f = J_F^(-1) 成立。相反，倘若卡尔·雅可比行列式在某一个点不为零，那么该函数在这个点的某一邻域内可逆（存在反函数）。一个多项式函数的可逆性与未经证明的雅可比猜想有关。其断言，如果函数的雅可比行列式为一个非零实数（相当于其不存在复零点），则该函数可逆且其反函数也为一个多项式。