雅可比猜想

雅可比猜想(Jacobian conjecture)是多变量多项式的一个著名问题，最初是由数学家Ott-Heinrich Keller于1939年提出，之后Shreeram Abhyankar取现名，并将之广为传播，以作为代数几何的问题中，只需稍多于微积分的知识就能阐述的一个例子。雅可比猜想之所以闻名，因为有很多试图解决猜想的证明，都有藏于细节中的错误。这猜想直至2019年仍未得到正确证明。

雅可比行列式

令为固定的整数，考虑多项式，变量为，系数在特征为零的代数闭域k中。（可假设k为复数域）也就是说。定义函数为

函数F的雅可比行列式是由F的偏导数组成的n×n矩阵的行列式

也是变量为X的多项式函数。

叙述

多元微积分的反函数定理指出如在某一点有 ≠ 0，那么在该点附近F有反函数。由于k是代数闭域，是多项式，因此必定在某些点上为0，除非是非零的常数函数。以下是一项基本结果：

若F有反函数，则是非零的常数函数。

而其反命题则为雅可比猜想：

令k为一特征为零的代数闭域。若

1、

2、是非零常数函数，（等价于以下条件：对于所有的皆是可逆的线性变换）则F有反函数，且此反函数亦属于k[X]。

参考资料