阿罗悖论
阿罗悖论是指经济学中，经常提出一些目标体系。按照实际经济运行是贴近于它及贴近程度，还是背离了它及背离幅度，来判断经济运行的好坏。
正文
阿罗悖论（Arrow Paradox）又称作阿罗不可能定理（Arrow's impossible theorem），是由1972年诺贝尔奖的获得者之一肯尼斯·阿罗（Kenneth J．Arrow)首先陈述和证明的。如下：
假如有一个非常民主的群体，或者说是一个希望在民主基础上做出自己所有决策的社会，其群体中每一个成员的要求都是同等重要的。一般，对于最应该做的事情，每一个成员都有自己的偏好。为了决策，要建立一个公正而一致的程序，把个体偏好结合起来，达成某种共识。先要进一步假设群体中的每一个成员都能够按自己的偏好对所需要的各种选择进行排序，再对所有排序汇聚就是群体的排序了。意思是“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”。经过详细研究论证，阿罗得出一个惊人结论：上述的意愿绝大多数情况下是——不可能的！
定理的起源
最一般地，人们提出一个经济体制应该具备两大社会目标。
a. 最大的选择自由。选择自由主要是指：个人有权自由选择职业，自由提供生产要素，自由经营企业，自由的买卖产品，自由安排工作和休闲时间等等。
b.最高的经济效率。在既定的生产资源、生产技术等，通过资源的最优配置和利用，达到最高的产品生产效率；然后通过各种途径，即：自愿交换或者收入转移，让既得产品于消费时，提供给人以尽可能多的效用满足，从而获得最高的产品消费效率。阿罗悖论的起源，应该包含两个方面。一个是历史的起源，另一个是机制的起源。
1. 阿罗定理的历史起源
谈及阿罗悖论的历史起源，则应该从福利经济学说起。福利经济学从提出至今，大致走过了三个里程碑。
第一个里程碑是阿瑟·庇古的经济福利学，称为旧福利经济学。它包含着两个基本命题：第一，国民生产纯产值越大，社会经济福利就越大；第二，国民收入分配越是平等，社会经济福利就越大。
第二个里程碑是以帕累托最优状态命名的新福利经济学。他们提出福利最大状态实质是效率最大状态，表述如下：在经济运行时，如对现状进行的改变，使得至少有一个人的福利增进了，这种改变就有利；如果使得至少一个人的福利减少了，这种改变就不利；但是，如果使得一个人的福利增进的同时，而使得另一个人的福利减少，就不能说这种改变一定有利或者不利。然而就是在此时，却达到了帕累托最优状态。经济学家们通过严格的推理证明：在完全竞争的条件下，如果消费者追求最大效用满足，生产者追求最多利润获得，生产要素所有者追求最大收入，加上没有经济外部效应，就一定能够达到社会福利最大的帕累托最优状态。
第三个里程碑，则是以伯格森、保罗·萨缪尔森为代表的社会福利函数派。社会福利函数派认为，因为不同的收入分配会对消费和生产发生不同的影响，因此福利经济学不应该排除收入分配问题。维尔弗雷多·帕累托的最优状态只解决了经济效率问题，没有解决合理分配问题。如果一个人独霸全世界的山河土地，仍会存在着相应的一个帕累托最优状态。他们认为，经济效率仅是社会福利最大的必要条件，而合理分配产品收入是社会福利最大的充分条件，只有同时解决效率和公平的问题，才能达到社会福利的唯一最优状态。
为此，他们殚尽心力地寻找社会福利函数。他们以政治投票与货币投票具有相似特征出发，提出用政治投票的方式构建社会福利函数。但是，遗憾的是，肯尼斯·阿罗却以严格的数理逻辑推导出了投票悖论，以形式化的方式证明了无法以投票的方式产生人人都能接受的唯一社会福利函数。这使得社会福利函数派的公平设想归于毁灭。
然而，阿罗悖论所说的投票悖论引发的更是一场深刻的经济理论危机。阿罗悖论从最深意义上可以被理解成：个人私自利益与社会整体利益无论如何必然存在矛盾，不能在满足所有个人私有利益的前提下，逻辑地导出社会整体利益同时也被满足的结论。
阿罗悖论使多年来福利经济学的成果毁于一旦。同时，我们还要进一步看到悖论揭示的深刻性。因为，从亚当·斯密开始的“看不见的手”论述，即整个西方经济学关于市场经济导致资源配置最优化的概念，是从个人利益被满足的同时，会自动地导向全社会资源配置的总体优化为前提的。设想，当将政治投票形式换成货币投票形式，则问题的严重性就凸显出来。因为，阿罗悖论已经脱离了具体内容，用公理化的形式，证明了从上述的前提到结论是绝对不可能的。这样一来，西方经济学的整个大厦基础都将被倾覆，市场经济的所有现成结论都被推翻。
推理很深奥，思想很深刻，挑战很严厉，事态很严重。然而问题究竟出在何处？问题是，当理论家下意识地理解阿罗悖论时，都把人们的政治投票选择行为等同于人们的货币投票选择行为。这也包括阿罗本人。他写道：“投票和市场的方法，是汇集许多不同的个人趣味来做出社会选择的方式。“"同样地，市场机制也不能产生一合理的社会选择。”“任一社会福利函数必定要么是强加的，要么就是独裁性的。“
2. 机制起源
一个经济社会总存在着它拥有的生产资源，比如土地、资本、劳动等等。拥有这些生产资源，如何进行要素的配置，以使得它们能够以维尔弗雷多·帕累托描述的方法进行最有效率的生产呢？而对生产获得到的产品进行消费，又如何能够达到帕累托最有效率状态呢？
一般都用两人、两种产品、两种生产要素，以弗朗西斯·埃奇沃思箱形图来直观地说明问题。虽然，埃奇沃思箱形图仅能清晰地说明2×2×2情形的帕累托最优状态配置，但是，阿罗—德布鲁定理已经全面地证明任意位个人、任意种产品和任意类生产要素的帕累托最优状态配置。所以，定性地用埃奇沃思箱形图来说明问题，并不影响结论的准确性。
是一个两人社会用它拥有两种生产要素，l数量的劳动和k 数量的资本，生产两种产品x和y。l数量劳动和k数量资本形成了弗朗西斯·埃奇沃思箱形图的两条边长，表示生产要素的有限性。这时，可根据社会当时的技术水平，画出x、y两种产品的等产量曲线族。
其中从原点o[,x]开始，向右上方度量生产x 产品所使用的两种生产要素数量，用横轴l[,x]和竖轴k[,x]标度分别表示，即可得图中标明的q[,1]、q[,2]、q[,3]、q[,4]这些等产量曲线。类似地从o[,y] 向左下度量生产y产品使用的两种生产要素数量，就有y产量的等产量曲线。
很明显，当于图1的a点处分配劳动和资本来生产x、y两种产品时，就不是帕累托最优状态。因为，把劳动与资本的分割点沿着x或y的某一条等产量曲线向右下前进，都可在该种产品生产数量不减的同时，获得另一种产品生产数量增加。调整的过程一直可以进行到这条曲线与对偶某条曲线相切为止。比如图1中的b点和c点。b点和c 点处的生产要素使用效率就是最有效率的维尔弗雷多·帕累托境界。因为此时，若要再增加x 产品数量生产，就必然导致y产品数量的减少，反之亦然。
类似b和c这样的x、y产品等产量线相切点的全体，在弗朗西斯·埃奇沃思箱形图内形成了一条新曲线，称之为生产契约曲线。它从左下角的o[,x] 出发，一直延伸到右上角的o[,y]为止。这条线上的生产要素配置方式都达到了帕累托最有效率配置。
把沿着这条线上行进得到的x产量和y产量同时记录下来，转换到一个新的坐标系，即产品数量坐标系中，则可得到如许固定有限的l和k，可达到的x、y最多产量的组合曲线，称之为生产可能性曲线。
一种生产极大化状态，对应的就是图2 中生产可能性曲线上的某一点。如果我们在图2中取d点，则d 点就是甲乙两人获得的最大数量共同产品。那么，他俩怎样才能从d点所表示的x、y 产品中获得最多的效用呢？
可以根据他俩的无差异效用偏好曲线作出。左下角的原点o，是测量甲效用的原点，位于生产可能性曲线上的d点，即右上角的点，是测量乙的原点。两人分别具有的无差异偏好曲线是i[,甲1]、i[,甲2]和i[,甲3]，i[,乙1]、i[,乙2]和i[,乙3]。在图2中，甲的i[,甲1] 和乙的i[,乙2]相交于e点。e点即表示x、y产品在两人中的一种分配方式，但是，e点并不是维尔弗雷多·帕累托最优点。因为，沿着任一人的无差异曲线向右下方移动后，都会使得另一人的效用增加。只有当到达g点或者f点时，进一步的移动才会导致另一人的效用减少。观察g点和f点处，两人的无差异偏好曲线正恰相切。
当把两个无差异偏好曲线族的所有两两相切点都找出后，就得到了消费时表示的帕累托最优状态的曲线——连接两个原点o-d 的交换契约曲线。
沿着交换契约曲线移动的同时，记录两人效用大小的变化。如把两人效用大小的变化转移到表示甲乙两人的效用坐标系中，就得到了两人的总效用变化曲线。
这条曲线显示的仅仅是图2生产可能性曲线d点处标示的那种合x、y产量，于甲乙两人间各种不同分配所形成两人总效用变化曲线。于是，可知现时的这条总效用变化曲线，是两人用既定的l和k生产要素，生产特定数量x、y产品组合后，消费所能获得的极大化表示。
生产可能性曲线上的每一点，都是两人极大化生产的可能点。而对应每一点的极大化x、y产品，都可以查找到两人不同分配数量形成的总效用变化曲线。于是可作出无数条总效用变化曲线。由所有总效用变化曲线形成了的最外面的包络线，就是总效用的可能曲线。曲线参见图3外沿的虚线。
的总效用可能曲线就是甲乙两人消去了x、y 产品数量的种种可能变化后，即消去了中间变量，所能够获得帕累托最优状态的情形。这时，他俩既具备着最高的生产效率，也获得了最大消费福利。
可以把上面所述的总效用可能曲线，理解为飞机的最大飞行半径，上面的任意一点都是可以着落的机场。然而，仅从上面得到的经济运行结果，却还是一个无约束的结果，或者是约束过少的结果。由此人们并无法获知一个确定的解答案。
这里缺少了什么？缺少了分配的介入。自然，人们要追问，经济运行的分配是否可以自然而然地决定呢？还是可依人们愿望加以自行挑选的呢？对于这个设问的回答，马上就引出了人们的公平观念以及用政治投票决定经济选择的行为思考。
如果依据市场经济的“自然”运行，经济也会有它的“自然”解。而经济体系的“自然”解，却是由自然产生的对人作用与约束的结果。因为，来源于生产函数，从而派生导出分配函数，可依据各种生产要素的边际生产率作为分配砝码进行产品的分配。依此，各人提供的生产要素数量，按生产要素在生产中的作用大小，即可进行最终产品的分配。
这样的解具有唯一性吗？答案是：具有唯一性。
因为按分配函数，劳动、资本等等具有边际递减倾向的生产要素分配份额，由它们的边际生产率决定。而如技术进步、风险、垄断等引起的分配，是由生产出来的产品，除去上述的劳动、资本等要素分配后才决定的。在一组方程式中，由以上各项决定的分配是不可变更的，具有唯一性。
但市场经济的“自然”运行解，带有一个最令人们伤透脑筋的副作用，即“马太”效应。“自然”运行解具有正反馈的过程和结局，它使得人与人之间相比，不但收入，而且生产资料都越来越不平均，产生富者愈富、贫者愈贫的两极分化结果。
人们对此进行了反思与质问。因为，自然提供给人的生产要素，应该看成是提供给人类的全体，而并非提供给人类的某些人或某部分人。从这点出发，任何个人或部分人利用或者“霸占”自然提供的生产要素，在分配中占有不恰当的一份，都是不能令人满意和接受的。
这就是福利经济学所看到的问题，并且他们还从中提炼出解决问题的方式：为什么不能在保持“自然”分配前提下，再追加另外方式，而不全然用自然强加的“自然”性的边际生产率方式，来进行产品的分配呢？或者通俗地说，用二次分配的方式来进行社会产品的再分配。
从这点出发，他们引出了用投票的方式来决定产品在人们之间的分配。投票方式，从最根本上着眼，是人类社会内部成员选择和决定人类社会内部事务的方法。而正是采用这种形式进行的选择和决策，却可忽略了人类生存的必要前提：即人类社会的整个存在，不仅仅决定于内部成员的主观意愿，还决定于人类社会生存于斯的自然界。
福利函数的投票决定，在某种意义上看，就是人们希望摆脱自然通过生产函数和派生的分配函数对于人们的强制分配作用，纯粹由人们之间协商与协调，对人们的收入进行内部分配。但是，这样决策却很可能是无约束的决策，或者准确地说是自由度过多的决策。仁者见仁，智者见智，得不到唯一结果就不难理解。正像没有分配函数作用时的维尔弗雷多·帕累托最优状态无法获得唯一解一样，人们看到了同样的问题出现在它的反面：在投票选择中，人们也无法获得公平分配的唯一解，即没有全体人们同时满意的公平解。
回过头来，从经济学的分析脉络看货币选票的真实作用，它绝不仅仅直接安排与解决了人与人之间的利益调节分配关系，它还间接地安排与解决了人从自然中如何获得利益的关系。货币投票安排着三个边际代替率相同，不但解决了人类社会内部的协调关系，更考虑了人与自然的互相作用和影响的机理。所以，货币投票选择绝不等同于政治投票选择。
阿罗投票悖论的出现，其最根本的深层原因就在于：由于没有充分的约束，即当自然约束缺位时，就无法就人类事务达成唯一解。这就是阿罗悖论的深层机制起源。
定理的孕育和诞生
阿罗不可能定理的证明并不难，但是需要严格的数学逻辑思维。关于这个定理还有一段情节颇为曲折的故事。
阿罗在大学期间就迷上了数学逻辑：读四年级时，波兰大逻辑学家塔斯基(Tarski) 到阿罗所在的大学讲了一年的关系演算，阿罗在他那里接触到诸如传递性、排序等概念。在此之前．肯尼斯·阿罗对他所着迷的逻辑学还是全靠自学呢。
后来，阿罗考上研究生．在霍特林·哈罗德（Harold Hotelling)的指导下攻读数理经济学。他发现，逻辑学在经济学中大有用武之地。就拿消费者的最优决策来说吧，消费者从许多商品组合中选出其最偏好的组台、这正好与逻辑学上的排序概念吻台。又如厂商理论总是假设厂商追求利润最大化，当考虑时间因素时，因为将来的价格是未知的厂商只能力图使基于期望价格的期望利润最大化。
我们知道、现代经济中的企业一般是由许多股东所共同拥有。100个股东对将来的价格可能有100种不同的期望，相应地根据期望利润进行诸如投资之类的决策时便有100种方案。那末，问题如何解决呢？一个自然的办法是由股东(按其占有股份多少)进行投票表决，得票最多的方案获胜。这又是一个排序问题。阿罗所受的逻辑训练使他自然而然地对这种关系的传递性进行考察。结果轻而易举地举出了一个反例。
肯尼斯·阿罗第一次对社会选择问题的严肃思考就这样成为他学习标准厂商理论的一个副产品不满足传递性的反例激起了阿罗的极大兴趣，但同时也成为他进一步研究的障碍 因为他觉得这个悖论素未谋面但又似曾相识。事实上这的确是一个十分古老的悖论，是由法国政治哲学家、概率理论家贡多赛在1785年提出的 但是阿罗那时对贡多赛和其他原始材料一无所知，于是暂时放弃了进一步的研究。这是1947年。
次年，在芝加哥考尔斯(Cowles)经济研究委员会，肯尼斯·阿罗出于某种原因对选择政治学发生了浓厚的兴趣：他发现在某些条件下，“少数服从多数”的确可以成为一个合理的投票规则。但是一个月后，他在《政治经济学杂志》里发现布莱克(Black)的一篇文章已捷足先登，这篇文章表达了同样的思想看来只好再一次半途而废了。阿罗没有继续研究下去其实还有另一层的原因，就是他一直以严肃的经济学研究为己任，特别是致力于运用一般均衡理论来建立一个切实可行的模型作为经济计量分析的基础他认为在除此以外的“旁门左遭’中深究下去会分散他的精力。
1949年夏天，阿罗担任兰德公司(Rand)的顾问。这个为给美国空军提供咨询而建立起来的公司那时的研究范围十分广泛，包括当时尚属鲜为人知的对策论。职员中有个名叫赫尔墨(]Helmer) 的哲学家试图将对策论应用于国家关系的研究，但是有个问题令他感到十分棘手：当将局中人诠释为国家时，尽管个人的偏好是足够清楚的，但是由个人组成的集体的偏好是如何定义的呢？肯尼斯·阿罗告诉他，经济学家已经考虑过这个问题，并且一个恰当的形式化描述已经由亨利·柏格森(Bergson)在1938年给出。伯格森用一个叫做社会福利函数的映射来描述将个人偏好汇集成为社会偏好的问题，它将诸个人的效用组成的向量转化为一个社会效用。虽然伯格森的叙述是基于基数效用概念的，但是阿罗告诉赫尔墨，不难用序数效用概念加以重新表述。于是赫尔墨顺水推舟，请阿罗为他写一个详细的说明当阿罗依嘱着手去做时，他立即意识到这个问题跟两年来一直困扰着他的问题实际上是一样的。既然已经知道“少数服从多数“一般来说不能将个人的偏好汇集成社会的偏好，肯尼斯·阿罗猜测也许会有其他方法。几天的试探碰壁之后，阿罗怀疑这个问题会有一个不可能性的结果。果然，他很快就发现了这样一个结果；几个星期以后，他又对这个结果作进一步加强。
阿罗不可能定理就这样呱呱坠地了。
从1947年萌发胚芽到1950年开花结果，阿罗不可能定理的问世可谓一波三折，千呼万唤始出来，而且颇有点无心插柳的意味。但是，正是在这无心背后的对科学锲而不舍的追求，才使逻辑学在社会科学这块他乡异壤开出一朵千古留芳的奇葩，这不能不说是耐人寻味的。
1951年，肯尼斯·阿罗出版了现在已经成为经济学经典著作之一的《社会选择与个人价值》一书。
对于阿罗不可能定理，美国斯坦福大学教授肯尼斯·阿罗给出了如下的结论：
如果我们排除了人际效用的可比性，而且在一个相当广的范围内对任何个人偏好排序集合都有定义，那么把个人偏好总合为社会偏好的最理想的方法，要么是强加的，要么是独裁的。不可能存在一种社会选择机制，使个人偏好通过多数票规则转换为成社会偏好。
定理的内涵
阿罗的不可能定理源自孔多塞。康德尔塞(Coudorcet，Marquis de)的“投票悖论”。早在十八世纪法国思想家孔多塞。康德尔塞就提出了著名的“投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如下的偏好排序。
甲（a ＞ b ＞ c）
乙（b ＞ c ＞ a）
丙（c ＞ a ＞ b）
注：甲（a ＞ b ＞ c）代表——甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。
1.若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：
甲（a ＞ b ）
乙（b ＞ a ）
丙（a ＞ b ）
社会次序偏好为（a ＞ b ）
2.若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：
甲（b ＞ c ）
乙（b ＞ c ）
丙（c ＞ b ）
社会次序偏好为（b ＞ c ）
3.若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：
甲（a ＞ c ）
乙（c ＞ a ）
丙（c ＞ a ）
社会次序偏好为（c ＞ a ）
于是我们得到三个社会偏好次序——（a ＞ b ）、（b ＞ c ）、（c ＞ a ），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又认为a不如c！所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。
肯尼斯·阿罗不可能定理说明，依靠简单多数的投票原则，要在各种个人偏好中选择出一个共同一致的顺序，是不可能的。这样，一个合理的公共产品决定只能来自于一个可以胜任的公共权利机关，要想借助于投票过程来达到协调一致的集体选择结果，一般是不可能的。
定理的推理
为了简单起见，假定每个个体至少有3个供排列的选项，可以用各种味道的饼干为选项的例子，如：香草饼干(V)、巧克力饼干(C)和草莓饼干(S)，每一个人要形成一个序列，表示出他对3种味道的喜爱程度，如V\u003eS\u003eC，表示这个人最喜欢香草饼干，其次是草莓饼干，最后是巧克力饼干。设有甲乙丙三人作选择，他们的个人偏好为：
甲： V\u003eC\u003eS
乙： C\u003eS\u003eV
丙： S\u003eV\u003eC
表1 投票悖论
用民主的多数表决方式，如果三个人都能充分表达自己的意见，则结果必然如下所示：
a. 首先，在V和C中选择，甲、丙喜欢V，乙喜欢C；
b. 然后，在C和S中选择，甲、乙喜欢C，丙喜欢S；
c. 最后，在V和S中选择，乙、丙喜欢S，甲喜欢V。
这样三个人的最终表决结果如下：
V\u003eC，C\u003eS，S\u003eV可见，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的“投票悖论”(paradox of voting)。
用数学语言来说，即：假设群体S上有m个个体成员，群体中出现的各种事件构成一个集合X，每个个体对每一事件都有自己的态度，即每个人都对集合X有一个偏好关系\u003e i=1，2，…，m。即可以按自己的偏好为事件排序。定义群体的偏好为：其中P是一种由每个个体偏好得出群体偏好的规则。按这个规则从个体排序(偏好)得到群体排序(偏好)，而且这个排序符合民主社会的民主决策的各种要求。注意这个排序是自反的，即如果A\u003eB，那么，B表述出这些要求。他用的是数学方法，符号化的公理和数理逻辑的证明方法，为了简单地说明问题，我们采用了自然语言解释。)分为两条1条，把公理5有时表述为(个公理4，二者只有其一而且必有其一。这首先要考察一下民主社会的民主决策的各种要求是什么，肯尼斯·阿罗用B\u003eA，要么A\u003eB；并且还是完全的，即要么A\u003eC，则有B\u003eC，A\u003eB；是可传递的，即如果
公理1——个体可以有任何偏好；而且是民主选择——每个社会成员都可以自由地按自己的偏好进行选择(数学上称为原则U—无限制原则： \u003e i，u=1，2，… ， m在x上的定义方式无任何限制)。
公理2 ——不相干的选择是互相独立的；(数学上称为原则I— 独立性原则：对于X中的两个事件X和Y，对它们做出的偏好判断与X中的任何其他事件无关)。
公理3 ——社会价值与个体价值之间有正向关联；(数学上称为原则P—一致性原则：如果对X中的两个事件X和Y，对于所有的i都有x \u003c iY，那么X \u003c sY。这里x \u003c iY表示X\u003e iY不成立。就是说，每人都有同样明确态度的两件事，社会也应该有同样的态度。)
公理4 ——没有独裁者—不存在能把个体偏好强加给社会的可能。(数学上称为原则D—非独裁原则：不存在某个i，使得。
阿罗证明，满足这4条公理表述的要求的民主决策的规则是不存在的，就是著名的“阿罗不可能性定理”：如果X中的事件个数不小于3，那么就不存在任何遵循原则U，P，I，D的规则(称“社会福利函数”)。这表明满足所有一般条件的民主选择要么是强加的，要么就是独裁的结果。
换句话说，肯尼斯·阿罗不可能性定理指出，多数规则(majorily rule)的一个根本缺陷就是在实际决策中往往导致循环投票。
阿罗的结论是：根本不存在一种能既保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖? 那么，能不能设计出一个消除循环投票，做出合理决策的投票方案呢程序(agenda)的多数规则的投票方案。简单地说，阿罗的不可能定理意味着，在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。
这个结果是令人震动的：一个社会不可能有完全的每个个人的自由—— 否则将导致独裁；一个社会也不可能实现完全的自由经济—— 否则将导致垄断。人们对社会的认识达到一个新的高度。
肯尼斯·阿罗的不可能定理一经问世便对当时的政治哲学和福利经济学产生了巨大的冲击，甚至招来了上百篇文章对他的定理的驳斥。卡尔·李特尔、保罗·萨缪尔森试图以与福利经济学不相干的论点来驳倒阿罗的不可能定理，但又遭到肯普、黄有光和帕克斯的反驳，他们甚至建立了在给定个人次序情况下的不可能性结果。
事实上，阿罗不可能性定理经受住了所有技术上的批评，其基本理论从来没有受到重大挑战，可以说是无懈可击的，于是阿罗不可能定理似乎成为规范经济学发展的一个不可逾越的障碍。怎样综合社会个体的偏好，怎样在理论上找到一个令人满意的评价不同社会形态的方法，成为一个世界性难题。这时候出现了阿马弟亚·森(Amartya Kumar Sen，1933一)从20世纪60年代中期起，森在工具性建设方面的贡献减少了这种悲观主义色彩。森在这方面的研究推动了规范经济学跨越这个障碍向前发展。他的研究工作不仅丰富了社会选择理论的原则，而且开辟了一个新的、重要的研究天地。森1970年的著作《集体选择和社会福利》是其最重要的一部著作，它使许多研究者恢复了对基本福利的兴趣。另外这本书还具有哲学的风格，为规范问题的经济分析提供了一个新的视角，克服了阿罗不可能定理衍生出的难题，从而对福利经济学的基础理论作出了巨大的贡献。
森所建议的解决方法其实非常简单。森发现，当所有人都同意其中一项选择方案并非最佳的情况下，阿罗的“投票悖论”就可以迎刃而解。比如，假定所有人均同意V项选择方案并非最佳，这样上面的表1就变为表2，仅仅甲的偏好由于同意“V并非最佳”而V和C的顺序互换了一下，别的都不变。
表2 投票悖论的解决
在对V和C两种方案投票时，C以两票(甲乙)对一票(丙)而胜出于V(C\u003eV)；同理，在对V和S以及C和S分别进行投票时，可以得到S以两票(乙丙)对一票(甲)而胜出于V(S\u003eV)；C以两票(甲乙)对一票(丙)而胜出于S(C\u003eS)。这样，C\u003eS—S\u003eV—C\u003eV，投票悖论就此宣告消失，唯有C项选择方案得到大多数票而获胜。
森把这个发现加以延伸和拓展，得出了解决投票悖论的三种选择模式：
(1)所有人都同意其中一项选择方案并非最佳；
(2)所有人都同意其中一项选择方案并非次佳；
(3)所有人都同意其中一项选择方案并非最差。
森认为，在上述三种选择模式下，投票悖论不会再出现，取而代之的结果是得大多数票者获胜的规则总是能达到唯一的决定。
一个更完整、更简单也更具一般意义的不可能性定理，是艾利亚斯在2004年发表的。这一定理声称：如果有多于两个可供选择的社会状态，那么，任何社会集结算子，只要满足“偏好逆转”假设和“弱帕累托”假设，就必定是独裁的。特别地，阿罗的社会福利函数和森的社会选择函数，都是社会集结算子的特例，并且偏好逆转假设在阿罗和弗里德里希·缪勒各自定义的社会选择框架内分别等价于阿罗的“独立性假设”和缪勒的“单调性假设”，从而阿罗的不可能性定理、森的最小自由与帕累托效率兼容的不可能性定理、缪勒和塞特斯维特的一般不可能性定理，均可视为艾利亚斯一般不可能性定理的特例。艾利亚斯的不可能性定理有怎样的经济学和社会学结论是人们正在研究的问题。
定理的应用范畴
1. 公平与效率相悖
公平与效率相悖是阿罗悖论的一个应用侧面。有了对阿罗悖论的这样理解，回过头来再分析公平与效率的相悖性，问题豁然开朗。
从古代臆想中的“大同”社会，延至近代观念的“乌托邦”社会，直到现代的实际性的社会主义社会，检验社会经济状况好坏标准，始终贯穿着一条主线，就是“公平”。但是，“公平”这一尺度来自何处，在福利经济学通过效率转而对它进行认真研究之前，一直为人们所漠视。
实际上，在空想共产主义中，“公平”尺度来源于人们的伦理思索。而在科学共产主义理论建立时，由于《资本论》理论体系本身，仅着眼于社会成员内部的由生产资料占有不平等导致财富分配的不平等，所以，它导出的“公平”尺度，也是人类社会内部制定的尺度。而对于这样的“公平”尺度，阿罗悖论总是存在的。换句话说，个人私有利益与社会整体利益的冲突总不可避免，总无法得到一个全体人们同时同意的“公平”尺度。
但与此同时，当人们在追求美好生活过程中，又总是发现仅仅用“公平”尺度来衡量远远不够，必须导入“效率”尺度与之互补。而“效率”尺度衡量的东西就不再完全是人类的社会内部事务，它还必然牵涉到人与自然的索取与利益的关系。
“公平”尺度的对偶物——“效率”尺度，自帕累托始开始准确引入，为西方经济学者一直坚持并用之检验社会经济状况好坏的标准。然而，由福利经济学发展结果来看，“效率”尺度决不能囊括全部，它的实施，还必须引入“公平”尺度与之互补。
这就是“效率”与“公平”的悖论。强调“效率”尺度时，就会引入“公平”尺度；反之，强调“公平”尺度时，又会引入“效率”尺度。坚持了其中任何一个，都会把另一个拖进来。两者似乎不能两全其美，但又必需两相照顾。两者既无法分开，又无法综合，似乎是统一体中的矛盾对立面。
学术史实还表明，当用投票或者其它的方式决定公平分配方式的同时，却又引进了巨大的弊端。由于生产过程同时就是再生产过程，人们还必须在现时的消费与将来的消费之间进行决策。已经发现，用人们内部协商或者投票等方式决定的分配，在改变了现时消费于人们之间分配的同时，也会改变生产要素的报酬比例，即“自然”机制决定的现时消费与将来消费之间的适当关系。因为，人类的生存环境，已不再是纯粹的自然，而是人造的自然。这种人造的自然，必须以人们不断地维护和改进才能保持。而维护和改进与生产要素的回报有着直接的关系。投票选择分配的结果肯定会改变生产要素的回报。而真正要命的是，这样的改变，总是使得下一回合的再生产，偏离帕累托最优状态。这意味着在公平地切割已生产蛋糕的同时，却将使得再生产出来的蛋糕变小。
那么，是否可由经济体系运行内部，得出同时兼顾“效率”与“公平”尺度的结论呢？因为，我们已经看到，光考虑“效率”，并无法得到经济运行的唯一解，光考虑“公平”，也无法得到经济运行唯一解，综合考虑两者，是否存在着一组解，能够同时获得满足“效率”与“公平”尺度，即是：在效率最大的同时，达到公平最佳。
可以！因为我们已经看到，一旦加入自然界对人类社会存在的约束后，则由于新的约束进入，得到唯一结果就有其存在的必然。至于这个结论的证明，请看笔者近期将发表的其它论文。在那里，会给出一个时时刻刻保持自然的约束下，得到效率最大同时公平最佳的结论。这就使得当我们评价任何一个真实经济体系运行时，可以有一个“效率”与“公平”兼顾的坐标系，以便让人们判断、衡量实际经济运行偏离这两把理想尺度的尺寸偏差。
然而遗憾的是，这样的自然约束全面在位曾经出现过，它使得人们生活在即“公平”又有“效率”的社会中，不过它仅出现在人类的幼年时期——原始社会中。那时由于生产力的极其低下，任何偏离“公平”的分配，都会使某些人得不到足够食物而死亡。自然的在位就是以残酷的面目迫使人们不但进行“效率”地生产，而且强迫进行“公平”地分配。
然而，当生产力提高以至人们有了“剩余”产品后，分配的自由度增大，自然的约束不再那么严厉，使得阿罗悖论不但在“效率”方面，而且在“公平”方面都有了生存余地。
2. 社会主义市场经济的确立
社会主义市场经济的确立是阿罗悖论独裁结论的应用。
阿罗投票悖论中逻辑地推出的结果，却令人触目惊心：社会的决定要么是外界强加的，要么是独裁作出的。
他的话一半正确，另一半有疑问。说对的一半是，决定必定要由外界强加，即由人类以外的因素强加，这反映了自然约束的复位。它印证了存在着人无法脱离生存于斯的自然，就像人无法抓住自己头发脱离地球一样。另一半话则值得深思，即决定必需是独裁的。我们得有前提地承认这样的结论，因为确实存在着由全体人的理性投票无法获得的结果，居然可由独裁的决策获得。但如对这一半话滥用，将会造成极其严重的灾难性后果。
然而，通过以上阐述明白阿罗投票悖论的来源后，对于社会决策的决定机理，就有进一步的深刻理解。因为，不管怎么说，社会决策毕竟是在社会内部作出的，虽然它仍需体现自然的约束，比如当应用货币选票时。但是，货币选票只是社会决策的一种方式，虽然它是一种极其重要的方式，社会决策还存在着不能用货币选票决定内容。而由阿罗悖论，对这些内容进行的决策，绝对无法排除独裁的因素。那么，独裁决定的方式与自然的外加约束两者又有什么关系呢？这在下面的由交易费用考虑引发的中国社会主义市场经济的确立中加以分析。
自奥斯卡·兰格等人对社会主义计划经济如何实施最优配置进行分析后，人们已清晰地认识到，经济体系的运行并非不要代价，资源的配置和产品的分配是需要成本的。但是，这样的代价和成本如何进入经济分析的视野，却有赖于罗纳德·科斯提出的“交易费用”。科斯深入思考了前人忽略了的交易如何进行和获得的问题，发现市场交易中必然存在着的成本——交易费用。从这一缝隙的微光中，发现了一个广阔的新天地。
在这束萤光微芒指导下经长期的探索，人们最终恍然大悟，得出了这样的结论：人类的生存形式之所以会演变成现在的市场价格体系，用它来解决人类社会生存中的人与人之间的信息传导、生产协作、资源配置与物品交换，从而解决人类整体向大自然进行最有效率的索取，是因为市场价格体系是一种费用最低的体系，套用力学的语言，它是一种磨擦系数最低的体系。
以交易费用为发端，新制度学派从中引申出了对于产权、社会意识形态、法律、政府、民主等上层建筑的研究和论证，发现了所有为经济制度运行的社会活动，都是有费用的。
从而，新制度学派们从唯物的角度恢复了社会研究中的政治经济学。这也从另一个方面印证了马克思主义经济学的长处。然而，对比起来，它甚至比经典的马克思主义经济学要更唯物一些。因为，马克思的经典经济学从劳动价值论入手，分析社会中由于经济关系连接而形成的人与人之间的社会关系，并专注于社会关系，从中引申出对于上层建筑的研究。可是，由于前提所限，视野所及，无法纳入经济基础研究中必然需涉及的资源最优配置。这是它的理论盲点。新制度学派们的研究在这个意义上，添补了卡尔·马克思经典经济学的不足，真正从经济基础论证了上层建筑的产生和存在是为经济基础服务的，同时，也正是这些经济基础，以形似交易费用的这样那样的成本开支，支撑着上层建筑的运行。
理解这些后，对于人类社会决策行为就有了一个更坚实的、更唯物的思考基石。
一个好的“独裁”决策，不但应使人们的生产消费范围达到最大的边缘地区，也应保障社会内部正常运行费用降至最低限度。开“源”节“流”，才能得到所谓的经济术语的效率最高境界，或者说是考虑了“磨擦力”后的帕累托最优状态。
做出这样的决策决不是一蹴而就的事。有时，为了获得这样的“独裁”决策，得通过长时期的，甚至是成本高昂、代价痛苦的摸索。
中华人民共和国成立后，随着革命战争的结束，骤风暴雨般的阶级斗争本也应随之趋缓，而解决低下的人民生活水平、发展落后的民族经济和建设现代化强国则成为当务之急。然而，党的中心工作却长时期偏离了发展国民经济这一目标。“十年动乱”结束之后，中国共产党开始清醒地意识到，必须坚定不移地把党的中心工作放在经济建设上，而不为任何干扰所动摇。就是这个决策，为中国的经济起飞奠定了思想基础。
确定以经济建设为中心，解决了方向问题，而以什么样的体制来实现经济建设，则是途径问题。在此问题上，中国共产党也经过了相当长时期的摸索。从抛弃传统的计划经济，实施有计划的市场经济，到后来提计划经济与市场经济相结合，一直到党的十四大，才确定建立社会主义市场经济。这个过程大致用了了15年。
市场经济中的生产主体是企业。对于公有制于企业中如何实施的问题，也通过长期的理论争论和实践实验，于党的十五大才明确地提出了它的实现途径。这个过程如果从1992年算起的话，大致也经过了5 年左右时间。实际上，就简政放权，实施承包制开始算起，一直可以追溯到1984年。
从整体上说，从认识到市场经济是一种效率最高、运行费用最低经济制度，到最终决定采用市场经济作为实施现代中国腾飞的手段，整整耗费了将近半个世纪时间。
另外，降低社会运行的成本费用，虽然不是在有清晰意识和理论指导的情况下进行的，但中国共产党是成熟的执政党，政治领袖是睿智的，相当清楚中国近代史上内乱不止、积贫积弱的现象，且又从“文化大革命”吸取了教训，因而能够从政治稳定的视角思考中国的经济转轨问题。
与俄罗斯相比，由于它们轻率地采取了所谓的“休克”疗法来进行经济制度转型，“毕其功于一役”，其费用实在过于高昂。现在比较一致的认识是：应该在保持政治稳定局面的同时，建立和维护市场经济法制，逐步转轨。
这些决策虽然并非是全民投票的结果，而是执政党的政治决定，但它们反映了人民的迫切愿望，也反映了自然对于人类的约束作用。这也是中国共产党理论思维水平高超与政治决策成熟的表现。
3. 公共选择与民主制度
人们在日常生活中，总是面临着许多选择。不过，只要稍加分析你就不难发现，所有这些选择活动，总的来说不外乎两类：一类是私人选择，另一类是公共选择。私人选择完全可以根据私人意愿作出，没有必要非得争取别人的同意。公共选择则必须由多个人共同作出，一个人力不能及。
大致说来，经济个体在市场条件下作出的决策，都是私人选择，而公共选择则大量地发生在政治领域，如制定或修改法律，选举政府官员，充实国防力量等等。经济学有一个分支——公共选择理论，专门来分析上述发生在政治领域中的决策行为，阿罗不可能性定理就是有关决策效果的一个重要结论。
市场条件下的私人选择，实际上是经济个体利用自己手中的“货币选票”，直接地表达他们对各种产品的意见。对于这种行为的研究，一直是经济学的核心内容。比较一致的结论是，市场条件下的私人选择，通常可以导致有效率的结果，能够引导资源实现合理配置，但也存在着市场失灵的情况。而在政治领域中，个人意愿的表达，必须经过公共选择这个过程，在民主制度下，最为常见的办法就是投票。那么，它是否也能导致一种有效率的结果呢？这便跟投票的规则有很大的关系。
公共选择理论的创始人詹姆斯·布坎南认为，一致同意规则是公共选择的最高准则。“任何一个有理性的人都不会同意那些预期会给他带来损害的事情”，因此，一个人一旦同意了某一选择，他一定认为这是对他有利的，至少不会受损。市场机制之所以有效，就是因为在市场中达成的任何一笔交易，都是以交易双方的一致同意为基础的，哪怕有一方不同意，交易都无法达成。这一原则对公共选择来说也是适用的，只要某一集体决策获得了一致同意，那就表明，它肯定没有使任何一个参与者受损，却至少对其中的一个人有利。用经济学的术语来说，这就是一种帕累托效率的改进。
然而令人遗憾的是，“一致性是件好事，但却太昂贵了”。各参与者之间的利益差别不可避免，而每项议案的通过，却都要征得所有人的同意，这就需要付出巨大的努力，去说服每一个人，直至最后一个怀疑者。更糟糕的是，一旦这个最后的怀疑者认识到他有如此巨大的威力，他就有可能以投否决票相要挟，去敲诈那些支持议案的人。通常的情况则是，在马拉松式的讨价还价中，达不成任何协议。
既然一致同意规则代价高昂，人们就转而求其次，降低同意的“百分比”，将一致同意的100％，降为80％、70％，或者是51％，这样就产生了多数同意规则。相对于一致同意来讲，多数同意规则无疑是降低了决策的成本，但由于每项决策都可能在有人反对的情况下通过，这就便公共选择带有了强制的色彩。尽管作为一个和平主义者，你不赞成军备扩张，但却必须跟那些鹰派人物一样，为扩张军备而纳税，为别人的选择支付成本。对此，人们通常的看法是，少数服从多数是一种“民主”的公共选择过程，它虽然使少部分人受损，但同时却让大部分人获益。因此，从整个社会的角度看，这个决策还不失为一个“好”的决策。
问题在于，“民主”并非真的万无一失。例如：
某日，人们举办一个投票，这个投票问卷里只有一个问题，包含若干个选项，投票者根据自己的偏好给这几个选项排序。人们希望满足以下几个条件：
——投票的结果应该能表现出多个参加者的偏好，而不是某个人的偏好。
——它应该能体现所有参加者的偏好，并且如果有２次投票所有人投的票相同，结果也一定相同。
——如果人们改变了某２个选项的相对优先级，那么这变化不应该影响其它选项的相对优先级。
——如果一个人提高了某个选项的优先级，那么在结果中，这个选项的优先级不能因此下降。
——所有结果的排序都应该是可能达到的。
有 N 种选择，有 m 个决策者，他们每个人都对这 N 个选择有一个从优至劣的排序。我们要设计一种选举法则，使得将这 m 个排序的信息汇总成一个新的排序，称为投票结果。我们希望这种法则满足以下条件：
a. 一致性，或称为帕累托效率。即如果所有的 m 个决策者都认为选择 a 优于 b，那么在投票结果中，a 也优于 b。
b. 非独裁。不存在一个决策者 X，使得投票结果总是等同于 X 的排序。
c. 独立于无关选项。如果现在一些决策者改了主意，但是在每个决策者的排序中，a 和 b 的相对位置不变，那么在投票结果中 a 和 b 的相对位置也不变。
循环投票现象最早是由法国人孔多塞特发现的，后来美国经济学家阿罗又进行了更进一步的研究。他发现，如果两个以上的投票者，就两个以上的方案进行表决，循环投票就总有可能出现，出现的概率随着投票人数和供选方案的增多而增大。在此基础上，阿罗经过严格的数学证明，得出了一个令人吃惊的结论：任何一种多数同意规则，都不可能万元一失的保证投票的结果符合大多数人的意愿。阿罗的结论是，如果有２个或以上的人参加投票，并且问题有３个或以上的选项，那么以上的这些条件不可能同时满足。也就是说，如果m大于2, N 大于 3，我们不可能设计出这种制度。这就是著名的阿罗不可能性定理，又称阿罗悖论。
阿罗悖论使我们对公共选择和民主制度有了新的认识，正如市场存在着失灵一样，民主也有它失效的时候。尽管失效的概率可能很小，但这并不意味着阿罗的警告无足轻重。飞机失事只有不足万分之一的可能，但它一旦掉下来，对乘客来说就是百分之百的灾难。
参考资料
价值中国网.www.chinavalue.net.2012-02-05
漫动力创意空间.match.mdltv.com.2012-02-05
腾讯网.news.qq.com.2012-02-05