拉普拉斯展开

在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的 n个元素的(n-1) × (n-1)余子式的和。

简介

行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵有n行n列，它的拉普拉斯展开一共有2种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。

公式

设是一个矩阵。B关于第i行第j列的余子式是指B中去掉第i行第j列后得到的阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的 余子式。B的 代数余子式：是指B的 余子式与(-1)的乘积：

拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式：对于任意：

考虑以下的矩阵：

这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：

也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：

很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是奇异的，因为它的第一列和第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零。

证明

设B是一个 的矩阵， 。为了明确起见，将 的系数记为，其中。

考虑B的行列式|B|中的每个含有 的项，它的形式为：

其中的置换使得，而是唯一的将除了i以外的其他元素都映射到与τ相同的像上去的置换。显然，每个τ都对应着唯一的σ，每一个σ也对应着唯一的τ。因此我们创建了与之间的一个双射。置换τ可以经过如下方式从σ得到：

定义使得对于并且，于是。然后

由于两个轮换分别可以被写成 和 个对换，因此

因此映射是双射。由此：

从而拉普拉斯展开成立。

有关定理

拉普拉斯定理

皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。

参考资料

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