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胡克定律

胡克定律

胡克定律（Hooke's law ），也称罗伯特·胡克定律，是一条经验定律，其表述为：固体材料受力之后，材料中的应力与应变(单位变形量) 之间呈线性关系，即。满足胡克定律的材料称为线弹性材料或胡克型(Hokean)材料。

胡克定律以17世纪英国物理学家罗伯特·胡克（Robert Hooke）的名字命名。他于1676年首次以拉丁语字谜形式表述了该定律，谜面是：ceiiinosssttuv。1678年，公布了谜底：ut tensio， sic vis，译作“延伸与力成正比”。胡克定律是支配力学系统的重要规律，其可以表述为对于微小的形变，力学系统的响应是线性的。

胡克定律仅适用于特定加载条件下的部分材料。钢材在多数工程应用中都可视为线弹性材料，在弹性范围内（即应力低于屈服强度时）胡克定律都适用。另外一些材料（如铝材）则只在弹性范围内的一部分区域行为符合胡克定律。对于这些材料需要定义一个应力线性极限，在应力低于该极限时线性描述带来的误差可以忽略不计。还有一些材料在任何情况下都不满足胡克定律（如橡胶），这种材料称为“非胡克型”（neo-hookean）材料，如橡胶。

胡克定律广泛应用于磅秤制造、应力分析、材料模拟等领域。除此外，胡克定律也涉及物理学和力学，是地震学等许多学科的基础。

发展简史

东汉的经学家和教育家郑玄（公元127-200）为《周礼·冬官考工记·弓人》一文中的“量其力，有三钧”一句作注解时，在《周礼注疏·卷四十二》中写到：“假令弓力胜三石，引之中三尺，驰其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”

1678年，罗伯特·胡克定律是由英国力学家胡克(Robert Hooke， 1635-1703) 发现的。

1678年，罗伯特·胡克发表了题为《Spring（弹簧）》的论文，它包含了胡克对于弹性体的实验结果。文章在描述他的实验时说：“取一根长20、或30、或40英尺的金属丝，把上端同钉子系牢，而下端系一弹簧秤以承受砝码。用两脚规量出自秤盘底至地面的距离，把这一距离记下来。再将若干砝码加到秤盘上，并顺序记下金属丝的伸长量。最后比较这些伸长量便可以看到砝码与砝码引起的伸长量彼此之间存在着同样的比例。”

罗伯特·胡克一共用四种弹性物体来进行他的实验。除了金属丝之外还有：一个轴铅垂的金属螺旋线，上端固定下端系秤盘和砝码，随着载荷增加螺旋成正比例地伸长。

把一根钟表发条上紧成垂直的螺旋，内端固定，外端附着在一个与此发条同轴的轻巧的齿轮的轮毂上，后者盘绕着一根丝线，丝线的自由端悬吊一个很轻的秤盘，秤盘中加多大的砝码，这齿轮便旋转相应的角度。给干燥木质的悬臂梁的自由端加上载荷，挠曲变形呈现的结果符合该定律。

起初，罗伯特·胡克在做实验的过程中，发现“弹簧上所加重量的大小与弹簧的伸长量成正比”，他又通过多次实验验证自己的猜想。1678年，罗伯特·胡克写了一篇《弹簧》论文，向人们介绍了对弹性物体实验的结果，为材料力学和弹性力学的发展奠定了基础。

1680年，法国的马里奥特（E.Mariotte）也独立地提出了弹性体变形与所受外力成正比的定律。

19世纪初，英国科学家托马斯·杨（Tomas）总结了胡克等人的研究成果，指出：如果弹性体的伸长量超过一定限度，材料就会断裂，弹性力定律就不再适用了，明确地指出弹性力定律的适用范围。后人为纪念悉尼·胡克的开创性工作和取得的成果，便把这个定律叫做胡克定律。

主要内容

胡克定律的内容是：在小变形情况下，固体的变形与所受的外力成正比。如每当金属丝上的拉力增加一倍时，丝的伸长也增加一倍，比例系数与材料性质有关。对于大多数固体，胡克定律与实际很相符合。对于复杂的三向应力状态，有所谓广义胡克定律。它是原始定律的自然推广:当应变微小时，在物体给定点上的应力分量为该点应变分量的线性齐次函数。对于沿任何方向力学性质都相同的各向同性弹性体，与材料有关的独立弹性系数只有两个;对于一般的各向异性弹性体，独立的弹性系数达21个。若物体是不均匀的，则弹性系数是空间点的函数。对于胡克定律，柯西（Cauchy）等科学家曾从分子、原子论和热力学理论来解释。

简单应力状态的胡克定律

单向拉伸时，有，。

式中，，为横向收缩应变；为纵向拉伸应变；为正弹性模量；泊松比；为拉应力。

当剪切和扭转时，有。式中，为切应力；为切弹性模量；为切应变。

E、G、的关系有。

广义虎克定律

罗伯特·胡克于1678年根据实验结果提出，在小变形情况下，固体的变形与所受的外力成正比，这就是胡克定律，也可以表达为:在应力低于比例极限情况下，固体中的应变与应力成正比。将其推广到复杂的三向应力状态，就得到应力分量与应变分量之间的线性关系，称为广义胡克定律。该定律表述为，在小应变条件下，弹性固体任意一点处的应力分量为该点应变分量的线性齐次函数。弹性物体在连接载荷时纵向形变规律满足广义胡克定律，其纵向形变是视觉上可信的，绳索在悬挂载荷拉伸后，横向也应该对应发生形变。

实际构件受力状态都比较复杂，应力往往是两向或三向的，这样的应力状态称为复杂应力状态。一个构件上任意一点的受力状态，可用其单元体上的 9 个应力分量表示，其张量表示为：

根据切应力互等原理，。这样，实际上一点的应力状态只有 6 个独立应力分量为：。其中，前三个为正应力，后三个为切应力。切应力的脚标，第一个表示力所作用平面的法线方向，第二个表示力作用的方向。

复杂应力状态下任一点的应变也可借用单元体的 9 个应变分量表示。其张量表示式为

实际上也只有 6 个独立分量。其中，前三个是正应变，后三个是切应变。

这样，将上述 6 个应力分量和应变分量用弹性系数联系起来，就构成了广义虎克定律，其表达式为：

上述 6 个应力分量随单元体的取向不同而变化，但是总的应力效果，即是不变的，所以可以任意去取单元体的方位。设想取这样一种方位的单元体，其上只有三个正应力分量而无切应力分量，这样的单元体叫做主应力单元体，其上的三个正应力分量称为主应力。此时应力的张量表示式为：

显然，主单元体上也只有三个主应变，其应变张量表示式为：

此时的广义虎克定律表达式为：

适用范围

对于固体材料来说受到外因之后都可以发生形变，此时在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置，在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力（σ），而变形的程度称应变（ε）。

弹性阶段

在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ=Εε，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。E是材料本身的性质，与材料的宏观形状无关。事实上，除非弹性体的材料外，只要其在比例极限的范围内，都符合胡克定律。

弹性极限范围

应力超过比例极限后，应力与应变间成非线性关系。但拉力解除后，变形仍可全部消失，这种随着拉力的解除而消失的变形，即为弹性变形。其中保证只出现弹性变形的应力最高限值，称为弹性极限。在应用上，对比例极限和弹性极限有时不作严格区别。但超过弹性极限后，变形将进入弹塑性阶段。其中一部分是弹性变形，另一部分是塑性变形，即外力解除后不能消失的那部分变形。

测量单位

在 SI 单位中，位移以米（m）为单位，力以牛顿为单位（N 或千克m/s2）。因此，弹簧常数k和张量κ的每个元素以牛顿每米（N/m）或千克每秒平方（kg/s2）为单位进行测量。

对于连续介质，应力张量σ的每个元素都是一个力除以一个面积;因此，它以压力为单位进行测量，即布莱士·帕斯卡（Pa，或N/m 2，或kg/（m·s2）。应变张量ε的元素是无量纲的（位移除以距离）。

应用

胡克定律广泛应用于磅秤制造、应力分析、材料模拟等领域。除此外，胡克定律也是弹簧秤、检流计等机械的基本原理。弹簧测力计基于胡克定律被发明，并且在物理试验室中被广泛使用。

磅秤制造

弹簧秤

弹簧秤的秤重原理是由罗伯特·胡克定律（Hooke's law）而来：弹簧受到外力作用产生变形，在弹簧线性的条件下，变形量将与外力大小成一定的比例关系，而变形所产生的弹力会与外力的大小相等，所施的力越大，变形量就会越大。应用在弹簧秤上时，依照弹簧变形量的大小就可量测出被测物的重量。

应力分析

均匀钢筋的拉应力公式推导

弹性模量也被称为杨氏模量，是固体力学中用于表征材料弹性变形的基本量。罗伯特·胡克发现弹簧的弹性性质之后，就将这一性质推广到了固体材料中，他指出，具有弹性性质的各类构件都满足的公式。

承受拉伸或压缩杆件的外力作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。根据圣维南(Saint-Venant)原理，在离杆一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也是均匀的，并垂直于横截面，即为正应力，设杆的横截面面积为A，则有正应力的符号规则：拉应力为正，压应力为负。

等直杆受轴向拉力F作用，杆的原长为l，面积为A，则杆的轴向伸长为：，用内力表示为：上式为杆件拉伸（压缩）时的虎克定律。式中的E称为材料的拉伸（压缩）弹性模量，EA称为抗拉（压）刚度。

用应力与应变表示的胡克定律为：。

弹簧弹性势能计算

如果用力抖动一根软弹簧形成横波，那么会看到平衡位置处，弹簧形变最明显，而最低和最高点几乎还是原样，如下图所示。平衡位置的加速度为零，速度必然最大，所以动能就是最大。如此一来，动能和势能同步达到最大，当然也会同步达到最小。

从根本上说，只有当内部各点的位移不同，导致各点之间发生相对位移，也就是物质产生了形变时，才会形成弹性势能。对机械波来说，波函数的变量是描述媒质中点的偏移量的。它是位置和时间的函数，换句话说，同时刻不同点的偏移量不一致，所以自然会导致各点之间发生相对位移，也就是波的媒质发生形变，这就能导致弹性势能。

媒质中质元的势能取决于波形曲线上的切线的斜率，斜率绝对值越大，势能越大，绝对值越小，势能就越小。质元的动能和势能随位置和时间的变化规律一样，用更物理的语言说，它俩是同幅同相变化的，对确定点，二者的值每时刻都完全一致。

其中，能量与坐标和时间相关的部分具有简谐波的标准形式。因此，机械波的能量本身也形成一个简谐波，它的频率是波的频率的两倍。对简谐波来说，能量的传播速度就是波本身的速度，简谐波的质元并不是做简谐振动，因为相邻的质元之间有力的作用，所以质元做的是受迫振动而非简谐振动。

当波前刚抵达某个质元时，它还处于平衡位置，此时质元的能量是最大的。在一个波峰或波谷抵达某质元的过程中，它的能量沿波的传播方向流出；当波峰或波谷到达质元后，它又重新开始吸收来自波源方向传入的能量，再次回到平衡位置。如此反复，能量沿着波线方向不断向前传播。

材料模拟

应力松弛

这是材料的结构重新调整的一种现象，它和蠕变同为物质内部结构变化的外部显现。这种现象对应于黏弹性材料本构方程的一种形式。

这种可观测的物理性质取决于材料分子（或原子）结构的统计特性。应力松弛往往会带来不利影响，如高压蒸汽管道中，法兰紧固螺栓的锁紧力可能随时间降低，故每隔一段时间需拧紧一次，以防漏气。应力松弛和蠕变一样，来源于材料的黏性。因此，更复杂的黏弹塑性和黏塑性材料也都有应力松弛现象。

其他

谐波振荡器

谐振子是一种在经典力学和量子力学中都有重要应用的模型。它是弹性、声学、交流电路、分子和晶体振动、电磁场和物质光学性质等不同现象的数学处理的原型。经典力学中谐振子的简单实现是一个粒子，该粒子受到与其从平衡位置的位移成比例的恢复力的作用。这种力可能源自遵守胡克定律的弹簧。根据胡克定律，该定律适用于位移足够小的实际弹簧，恢复力与距平衡位置的位移（拉伸或压缩）成正比。