切线

切线（tangent 谱线）指的是几何学上一条刚好触碰到曲线上某一点的直线，更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。

平面几何中，在同一个平面上，一个圆和一条直线只有一个公共点，则该直线为圆的切线。在高等数学中，对于一个函数，如果函数某处有导数，那么此处的导数就是过此处的切线的斜率，该点和斜率所构成的直线就为该函数的一个切线。

切线是人们不断地总结生产斗争和科学实验的新鲜经验的基础上抽象概括出来的，它在两千多年的漫长的历史进程中，从一个简单的几何直观过渡成为数学领域里一个非常重要的概念。

定义

几何意义

M和N是曲线C上邻近的两点，M是定点，当N点沿着曲线C无限地接近M点时，割线MN的极限位置MT叫做曲线C在点M的切线。

代数意义

从代数角度来说，切线的斜率代表了曲线在该点处的变化率，也就是导数。具体来说，如果曲线的方程是 y = f(x)，那么在点 (x₀, f(x₀)) 处的切线斜率等于 f'(x₀)，其中 f'(x) 是 f(x) 的导数。切线方程可以表示为 y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)。

圆的切线

判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

几何语言：∵，点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）

性质定理

圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。

几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A

∴（切线性质定理）

主要性质

相关定理

切线长定理：从圆外一点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

几何语言：∵弦PB、PD切于A、C两点

∴（切线长定理）

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角，在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有着非常重要的作用。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条长的比例中项。

参考资料

Tangent Line.CUEMATH.2025-02-09