递归函数
递归函数是数论函数的一种，其定义域与值域都是自然数集，只是由于构作函数方法的不同而有别于其他的函数。最简单又最基本的函数有三个：零函数O(x)=0(其值恒为0)，射影函数，后继函数S(x)=x+1，它们合称初始函数。要想由旧函数作出新函数，必须使用各种映射。
在数理逻辑和计算机科学中，递归函数或μ-递归函数是一类从自然数到自然数的函数，它是在某种直觉意义上是"可计算的"。事实上，在可计算性理论中证明了递归函数精确的是图灵机的可计算函数。
定理定义
数论函数的一种，其定义域与值域都是自然数集,只是由于构作函数方法的不同而有别于其他的函数。处处有定义的函数叫做全函数，未必处处有定义的函数叫做部分函数。最简单又最基本的函数有三个：零函数O(x)=0(其值恒为0);射影函数；后继函数S(x)=x+1。它们合称初始函数。要想由旧函数作出新函数，必须使用各种映射。
代入（又名复合或叠置）是最简单又最重要的造新函数的算子，其一般形状是：由一个m元函数ƒ与m个n元函数g1,g2,…,gm 造成新函数ƒ (g1(x1,x2,…,xn)，g2(x1,x2,…,xn),…,gm(x1,x2，…，xn)),亦可记为ƒ(g1，g2,…,gm)(x1，x2,…,xn)。另一个造新函数的算子是原始递归式。具有n个参数u1，u2,…,un的原始递归式为：
具有一个参数的原始递归式可简写为：
递归函数
其特点是，不能由g、h两函数直接计算新函数的一般值ƒ(u,x),而只能依次计算ƒ(u,0)，ƒ(u,1)，ƒ(u,2)，…；但只要依次计算，必能把任何一个ƒ(u,x)值都算出来。换句话说只要g,h为全函数且可计算，则新函数f也是全函数且可计算。
由初始函数出发，经过有限次的代入与原始递归式而作出的函数叫做原始递归函数。由于初始函数显然是全函数且可计算，故原始递归函数都是全函数且可计算。通常使用的数论函数全是原始递归函数，可见原始递归函数是包括很广的。但是W.阿克曼证明了，可以作出一个可计算的全函数，它不是原始递归的。经过后人改进后，这个函数可写为如下定义的阿克曼函数：
容易看出，这个函数是处处可计算的。任给m,n的值，如果m为0，可由第一式算出；如果m不为0而n为0，可由第二式化归为求g(m,1)的值，这时第一变目减少了；如果m，n均不为0,根据第三式可先计算g(m,n-1),设为α，再计算g(m-1,α),前者第二变目减少（第一变目不变）,后者第一变目减少。极易用归纳法证得，这样一步一步地化归，最后必然化归到第一变目为0，从而可用第一式计算。所以这个函数是处处可计算的。此外又容易证明，对任何一个一元原始递归函数ƒ(x),永远可找出一数α使得ƒ(x)\u003cg(α,x)。这样，g(x,x)+1便不是原始递归函数，否则将可找出一数b使得g(x,x)+1\u003cg(b,x)。令x=b，即得g(b,b)+1\u003cg(b,b)，而这是不可能的。
另一个重要的造新函数的映射是造反函数的算子，例如，由加法而造减法，由乘法造除法等。一般，设已有函数ƒ(u,x),就x解方程ƒ(u,x)=t,可得x=g(u,t)。这时函数g叫做ƒ的逆函数。至于解一般方程ƒ(u，t,x)=0而得x＝g(u，t)可以看作求逆函数的推广。解方程可以看作使用求根算子。ƒ(u,t，x)=0的最小x根（如果有根的话），记为μx【ƒ(u,t,x)=0】。当方程没有根时，则认为μx【ƒ(u,t,x)=0】没有定义。可见，即使ƒ(u,t,x)处处有定义且可计算，但使用求根映射后所得的函数μx【ƒ(u,t,x)=0】仍不是全函数，可为部分函数。但只要它有定义，那就必然可以计算。这算子称为μ算子。如果ƒ(u,t,x)本身便是部分函数，则μx【ƒ(u,t,x)=0】的意义是：当ƒ(u,t,n)可计算且其值为0,而x\u003cn时ƒ(u,t,x)均可计算而其值非0，则μx【ƒ(u,t,x)=0】指n；其他情况则作为无定义。例如，如果ƒ(u,t,x)=0根本没有根，或者虽然知道有一根为n，但ƒ(u,t,n-1)不可计算，那么μx【ƒ(u,t,x)=0】都作为没有定义。在这样定义后，只要μx【ƒ(u,t,x)=0】有值便必可计算。由初始函数出发，经过有穷次使用代入、原始递归式与μ映射而作成的函数叫做部分递归函数，处处有定义的部分递归函数称为全递归函数，或一般递归函数。
原始递归函数类里还有一个重要的子类称为初等函数类，它是由自然数与变元经过有穷次加、算术减（即｜α-b｜）、乘、算术除、叠加Σ、叠乘П而得的函数组成的类。
波兰人A.格热高契克把原始递归函数类按定义的复杂程度来分类，称为格热高契克分层或波兰分层。
要把递归函数应用于谓词，首先要定义谓词的特征函数。谓词R(x,y)的特征函数是
称谓词R 是递归谓词，若R 的特征函数是递归函数；称自然数子集A为递归集，若谓词x∈A是递归谓词。有了上述定义，就可以用递归函数来处理递归谓词和递归集。为了处理N×N（其中N 为自然数集）的子集，就要建立配对函数，所谓配对函数通常是指由N×N 到N 的一个函数ƒ(x，y)与它的反函数g1(z)，g2(z)。它们都满足以下关系：
可以构造许多原始递归的配对函数。
递归函数也可以用来处理符号串。处理的办法是对符号及符号串配以自然数。这方法是库尔特·卡塞雷斯开始引进的，因此称为哥德尔配数法。例如，在要处理的符号系统｛α1，α2，α3,…｝中，可以用奇数1，3，5，7，…作为α1,α2，α3，α4，…的配数，符号串以为其配数，其中Ps是第s个素数,nij是αij的配数。这种配数称为哥德尔配数。有了哥德尔配数法，就可以用递归函数来描写、处理有关符号串的谓词了。
运用
(一)
目的：将1号和2号从A移到B
调用函数：hanoi(2,'A', 'C', 'B')。
在hanoi(2,'A', 'C', 'B')中递归调用如下：
A--\u003eC----河内(1,'A', 'B', 'C')
A--\u003eB----hanoi(1,'A', 'C', 'B')
C--\u003eB----hanoi(1,'C', 'A', 'B')
(二)
目的：将3号从A移到C
调用函数：hanoi(1,'A', 'B', 'C')
A--\u003eC
(三)
目的：将1号和2号从B移到C
调用函数：hanoi(2,'B', 'A', 'C')
在hanoi(2,'B', 'A', 'C')中递归递归如下：
B--\u003eA----河内(1,'B', 'C', 'A')
B--\u003eC----hanoi(1,'B', 'A', 'C')
A--\u003eC----hanoi(1,'A', 'B', 'C')
总共调用了7次函数，
只要hanoi()的第一个参数大于1，它就会在内部调用自身3次，“直到第一个参数＝1，然后调用printf()”。
hanoi(n, ...)调用hanoi(1, ...)的次数为2的n次方减去一。
pascal语言
【pascal语言】
函数 do(x:integer);
begin
if x\u003c=1 then exit(0)
else if x\u003e1then exit(do(x-1)+10)
end;
【C++】
用递归法计算1+2+。。。N的值。
#include\u003ciostream.h\u003e
int fn(int i);
void main()
{
int N;
cout\u003c\u003c"\n输入一个正整数:";
cin\u003e\u003eN;
cout\u003c\u003c"\n 1+2+...+"\u003c\u003cN\u003c\u003c"的结果是:"\u003c\u003cfn(N)\u003c\u003c"\n";
} //递归函数的定义
int fn(int i)
{
if(i==1)
回车键 1;
else
return i+fn(i-1);
}
正确写出
如何快速正确的写出递归函数？写一个递归函数是非常程式化的东西，只要按照一定的规则来写，就可以很容易地写出递归函数。写递归函数有三步：
①写出迭代公式；
②确定递归终止条件；
③将①②翻译成代码。以求n！为例：
①写出迭代公式：n！的迭代公式为
②确定递归终止条件：1！＝1就是递归终止条件
③将①②翻译成代码：将迭代公式等号右边的式子写入回车键语句中，即return （fact（n-1））*n;long fact（int n） { if （n==1） return 1; return （fact（n-1））*n; } 下面再举一个例子，希望能帮助大家进一步体会这一原则
写一个函数，求：f（n）=陈氏定理+3+……+n的值
①写出迭代公式：迭代公式为 ②确定递归终止条件：f（1）＝1就是递归终止条件
③将①②翻译成代码：将迭代公式等号右边的式子写入return语句中，即return （Sum（n-1））+n; 将1！＝1翻译成判断语句：if（n==1） return 1; 按照先测试，后递归的原则写出代码。 long Sum（int n） { if （n==1） 回车键 1; return （Sum（n-1））+n; }
Oraclestart with connect by 用法
oracle中 connect by prior 递归算法
Oracle中start with...connect by prior子句用法 connect by 是结构化查询中用到的，其基本语法是：
select ... from tablename start with 条件1
connect by 条件2
where 条件3;
例：
select * from table
start with org_id = 'HBHqfWGWPy'
connect by prior org_id = parent_id;
简单说来是将一个树状结构存储在一张表里，比如一个表中存在两个字段:
org_id,parent_id那么通过表示每一条记录的parent是谁，就可以形成一个树状结构。
用上述语法的查询可以取得这棵树的所有记录。
其中：
条件1 是根结点的限定语句，当然可以放宽限定条件，以取得多个根结点，实际就是多棵树。
条件2 是连接条件，其中用PRIOR表示上一条记录，比如 CONNECT BY PRIOR org_id = parent_id就是说上一条记录的org_id 是本条记录的parent_id，即本记录的父亲是上一条记录。
条件3 是过滤条件，用于对返回的所有记录进行过滤。
简单介绍如下：
早扫描树结构表时，需要依此访问树结构的每个节点，一个节点只能访问一次，其访问的步骤如下：
第一步：从根节点开始；
第二步：访问该节点；
第三步：判断该节点有无未被访问的子节点，若有，则转向它最左侧的未被访问的子节，并执行第二步，否则执行第四步；
第四步：若该节点为根节点，则访问完毕，否则执行第五步；
第五步：返回到该节点的父节点，并执行第三步骤。
总之：扫描整个树结构的过程也即是中序遍历树的过程。
参考资料
Oracle递归函数.www.linuxidc.com.2015-11-16