可数集（英文名：Countable set），凡是与自然数所成之集N对等的集合，称为可数集合或可列集合。可数集的基数为自然数集的基数，记作ℵ₀ （读作“阿列夫零”）。
格奥尔格·康托尔在1874年提出了集合的定义，此后进一步定义了集合的子集、交集、并集、映射等一系列概念。康托尔提出了通过一一对应的方法对无限集合的大小进行比较，并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势，即可以被认为是“一样大”的。他引入了可数无穷的概念，用来指与自然数集合等势的集合，并证明了有理数集合是可数无穷。
可数集在计算机科学、算法设计、计算水力学中有着广泛的应用。在这些应用中，可数集合也是构建和分析相关模型的重要工具，对于科学研究和实际问题的解决起到了至关重要的作用。
定义
设是一个集合，如果是空集或者存在正整数使得集合和集合之间有一个一一映射，则称集合是一个有限集。不是有限集的集合称为无限集；如果存在一个从集合到正整数集的单射，则称集合是一个可数集，不是可数集的集合称为不可数集。有限集的任何一个子集都是有限集。因此，有一个无限子集的集合必为无限集。凡有限集皆是可数集，但可数集可为无限集。例如，正整数集便是一个无限的可数集.的单射像集也是无限的可数集。
凡是与自然数所成之集对等的集合，称为可数集合或可列集合。可数集的基数为自然数集的基数，记作（读作“阿列夫零”）。
简史
格奥尔格·康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人。康托尔在1874年提出了集合的定义：“一个集合就是我们的直观或我们的思想上那些确定的、能区分的对象（它们称为集合的元素）汇集在一起，作为一个整体来考虑的结果。”这里用汇集来定义集合是同义语反复。之后人们认识到集合是一个原始的概念，不能用其他概念来定义，而只能加以描述或说明。在集合概念产生后，进一步定义了集合的可数集、不可数集、子集、交集、并集、映射等系列概念。
格奥尔格·康托尔提出了通过一一对应的方法对无限集合的大小进行比较，并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势，即可以被认为是“一样大”的。他引入了可数无穷的概念，用来指与自然数集合等势的集合，并证明了有理数集合是可数无穷，而实数集合不是可数无穷，这表明无穷集合的确存在着不同的大小，他称与实数等势(从而不是可数无穷)的集合为不可数无穷。原始证明发表于1874年，这个证明使用了较为复杂的归纳反证法。1891年他用对角线法重新证明了这个定理。另外，他证明了代数数集合是可数集，以及n维空间与一维空间之间存在一一对应。
性质
（1）可数集的子集至多可数。
（2）若为可数集，为有限集或可数集，则是可数集。
（3）有限或可数个可数集的并任是可数集。
（4）有限个可数集的直积是可数集。
（5）任一无限集都包含可数子集。
相关定理
定理1
任何无限集合都至少包含一个可数子集。
证明 设是一个无限集，因为，可以从中取一个元素，记作。由于是无限集，则，于是又可以从中取一个元素，记为，显然，且。设已从中取出个这样的互异元素，由于是无限集，故，于是又可以从中取一个元素，记作，显然且与都不相同。这样，由归纳法，就可以找到的一个无限子集，它是一个可数集合。
定理2
可数集合的任何无限子集必为可数集合，从而可数集合的任何子集或者是有限集，或者是可数集。
证明 设是可数集，是的一个无限子集，那么，所以。由定理1可知有可数子集，这样，所以。由Bernstein定理可知，即也是可数集。
由可数集的定义，一个集合是可数集，当且仅当的元素能排列成无穷序列（时）的形式。
定理3
设为可数集，为至多可数集，则为可数集。
证明 （1）先设，因为是可数集，设，若是有限集，设，此时
其中，这是一个可数集。
若是无限集，设，此时
其中，这是一个可数集。
（2）一般情形，即，此时，令，则，并且，因为，是至多可数集，由（1）可知，是可数集，于是是可数集。
定理4
有理数全体成一可数集合
证明 设（），则是可数集，全体正有理数成一可数集，因正负有理数通过，成为对应，故全体有理数成一可数集，但有理数全体所成之集合，故可知为可数集，证毕。
定理5
设，都是可数集，则也是可数集。
证明 （1）先设。因都是可数集，故可置
。
照箭头顺序可将排成：
因此，是可数集。
（2）一般情形
令，则（当时），且。
今都是都是有限集或可数集（定理2），如果只有有限个不为空集，则由定理3的推论，为可数集（因至少为可数集），如果有无限多个（必为可数个）不为空集，则由（1）末之注意，也是可数集，故在任何场合都是可数集。
定理6
若中每个元素可由个互相独立的记号一对一的加以决定，各记号跑遍一个可数集。
，则为可数集。
证明 用数学归纳法予以证明。
若则定理为真，假设当时定理是真的，由此证明当时定理也是真的。
设 ，中满足的元素，记全体为，则由假定为一个可数集，而，所以是可数集。
定理7
代数数的代数数的全体成一可数集。(所谓代数数，乃是整系数多项式的根)。
例如，设是一个无穷集合，则必有，使，而可数。
证明 由于是一个无穷集合，所以含有一个可数子集。
设令，则，且，均为可数集。令，，则且是可数集。又因为也是可数集，所以，由，，所以。
相关推论
推论1
中的有理数是可数集。中的有理点集是可数集。
证 对每一个，令，显然有，所以是可数集，从而知是可数集。
推论2
可数个两两不交的可数集的并集，仍然是可数集。
证明 设集合是可数集。
由题设知道时，有，则有：
得到
它与自然数集是一一对应的，所以是可数集。
这种得到并集的排列的方法叫做对角线排列法。在数学的证明中，和计算机科学的某些理论中经常会用到。
相关概念
整数集
全体整数的集合称为整数集，记作，即。
自然数集
全体非负整数即自然数组成的集合称为自然数集（或非负整数集），记作，即
非负奇数
由所有正奇数组成的集合称为非负奇数集。可以用列举法表示为
非负偶数
由所有正偶数组成的集合称为非负偶数集。可以用列举法表示为
不可数集
可数集的基数我们记作，读作“阿列夫零”。若集合的势大于可数集的势，则称它为不可数集。区间便是一个不可数集。我们称这样的集合为不可数集或不可列集，它是具有连续统的势的集合。我们记不可数集的势为，读作“阿列夫”。
有理数集
一般地，把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。所有有理数构成的集合为有理数集，用符号表示。
等势
若集合和之间存在双射，则称它们有相同的基数，也称两个集合等势。如果与不对等，但存在的真子集和对等，则称比有较小的基数。
子集
设是两个集合。若，则称是的子集。
推广
可数集合的每一个无穷子集合都是可数的。集合，由它的可数性，可以写为下面的形状
设是属于的第一个元素，是有同一性质的第二个元素，以此类推。
设，我们得出，子集合的元素是由序列
所构成的，这就是说这一个子集合是可数的。
应用
算法设计
在算法设计中，可数集也发挥着重要的作用。在编写算法时，我们需要确定如何处理不同的输入。如果输入数据是可数集，那么可以设计一些有效的算法来解决问题，如排序、搜索等。如果输入数据是不可数集，则可能需要使用不同的算法来解决。
计算机科学
可数集在计算机科学中有着广泛的应用。其中一个重要应用是分治算法，它通过将一个复杂的问题分成两个或更多的子问题来解决。在这个过程中，需要对一个可数集进行处理，以计算出需要将问题分割成多少个子问题。例如，确定四个男孩可以用多少种方式分享三个奖品，这可以通过二进制表示来表示不同的组合方式，从而帮助计算机快速地找到最优的分割方案。
计算水力学
计算水力学，正如其它许多自然科学学科，是一种描述和理解水力现象的学科。它通常使用可数集合，如有限可数集合和无限可数集合来研究水力现象。可数集合在这一过程中扮演了关键角色，它们可以有效地描述和分类各种不同的水力现象，并帮助科学家和工程师更好地理解和预测这些现象的发生。此外，可数集合的基数也可以用来比较无限集合的大小，这种方式对于研究和解决实际问题有很大的帮助。