正定矩阵（英语：positive define matrix），一种实对称矩阵，简称为正定阵。若对任意的n维实非零列向量x，都有xTAx大于0，则称A为正定矩阵，记作A大于0。
代数一词最早源于公元9世纪时期阿拉伯帝国数学家阿尔·花剌子模（AL.Khwarizmi），经过丢番图（Diophantus）、韦达（vieta）两位学者发展，代数更加壮大。正定矩阵的研究最早出现二次型与Hermite型的研究中，而且只限于对实对称矩阵或Hermite矩阵的使用，随着数学的发展，学者开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。1988年，夏长富对实矩阵的正定县型作进一步的推广。
正定矩阵具有一些性质，如两个正定矩阵的和是正定矩阵、正定矩阵的行列式恒为正等。判定某一个矩阵或矩阵的乘积为正定的方法，可用樊-塔尔斯基定理等。正定矩阵可推广出多个不等式，诸如柯西不等式、Young不等式、Heinz不等式。通过对正定矩阵的数值推算，可以运用于判断环境污染来源，研究非线性动力大系统的稳定性等领域。
简史
代数（algebra）一词最早源于公元9世纪时期阿拉伯数学家阿尔·花剌子模（AL.Khwarizmi），他系统研究一次和二次方程，并首次给出二次方程的求根公式。此后经过丢番图（Diophantus）、韦达（vieta）两位学者发展，代数更加壮大。1859年，清朝学者李善兰将其翻译为“代数”。代数中，讨论线性方程和线性运算的代数称之为线性代数。正定矩阵的研究最早出现二次型与Hermite型的研究中，而且只限于对实对称矩阵或Hermite矩阵的使用，随着数学的发展，学者开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。1973年，约翰逊（C.R.Johnson）在其博士论文中研究了方阵的对称化是正定矩阵时的某些不等式。1988年，夏长富对实矩阵的正定县型作进一步的推广。
定义
实对称矩阵
一种对称矩阵，指欧式空间的堆成变换在标准正交基下的矩阵，即元素全是实数的对称矩阵实对称矩阵的特征值全为实数。在实欧式空间中，对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交，且在中存在个列特征向量组成的标准正交基使为实对角矩阵，其对角线上的元素为的特征值，为正交矩阵。称为的特征向量的一个完备系。
正定矩阵
若对任意的维实非零列向量都有则称A为正定矩阵，记作。
充要条件
正定矩阵的充要条件有：
（1）.的所有顺序主子式均大于零，适应于具体的二次型矩阵正定的证明。
（2）.的所有特征值适应于抽象的二次型矩阵正定的证明。
（3）.
（4）.与单位矩阵合同存在可逆矩阵使得
（5）.正惯性指数
判定方法
方法（1）：对于由已知的正定矩阵证明给定的矩阵正定的问题，应用定义法最方便快捷。
设均是正定矩阵，则称为与的乘积，证明也是正定矩阵，证明，显然矩阵是实对称矩阵。
任取由于矩阵正定，所以同时有：那么只需要证明
由于是正定矩阵，故存在一个可逆矩阵使得即所以。
对任何因为可逆，所以总存在一个使得（因为不设妨 由的第一列中必有一个元素不为零，设为则）。
又因是正定矩阵，所以总有所以即也是正定矩阵。
方法（2）：运用顺序主子式或主子式进行判定，阶实对称矩阵正定的充分必要条件是的所有顺序主子式
若是正定矩阵，那么的主子式全大于零。其中主子式就是行指标与列指标相同的子式。
性质
正定矩阵具有以下性质：
1.正定矩阵的行列式恒为正。
3.是正定矩阵当且仅当是正定矩阵。（存疑）设为阶正定阵，则A+B均为正定矩阵。
4.两个正定矩阵的和是正定矩阵。
5.正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
对于阶实对称矩阵下列条件是等价的：
相关概念
正定二次型
实二次型的类型，设是一个实二次型，是任意个不全为零的实数。正定、半正定、负定、半负定的二次型合称为定型二次型；不定的二次型称为不定型二次型。
其他概念
（1）若对任意的”维实非零列向量都有则称A为半正定矩阵，记作
（2）若对任意的"维实非零列向量都有则称A为负定矩阵，记作
（3）若对任意的"维实非零列向量都有则称A为半负定矩阵，记作
若为(半)正定矩阵，则必为(半)负定矩阵。
相关定理
樊-塔尔斯基定理
樊-塔尔斯基定理是一个判断矩阵乘法是否正定的，设：
是正定矩阵，是实对称矩阵，则是正定的充分必要条件为：的特征值全大于零。
推广
柯西不等式
通过一个正定矩阵，可以设计出一个柯西不等式。
方法：
设是一个阶正定矩阵，则对任何向量与定义可以证明由该试定义的一定是维向量间的点积。反之，对于维向量间的任意一种内积，一定存在一个阶正定矩阵使得对任何向量和可由该式来定义，因此，给定了一个阶正定矩阵，在维向量间就可由该矩阵定义一个内积，从而可得到相应的柯西不等式：
Young不等式
Young不等式是加权算术几何平均值不等式的特例，在数学分析中有着广泛的应用，而正定矩阵可应用于该不等式。
方法
任意两个正实数且，有
当时，有
令时，（1）可以改写成：
正定矩阵，有如下不等式成立：
当时，从本式子可推得Young不等式的迹形式：
若半正定矩阵且则有：。可得出其行列式：
对且有：且当时，则不满足其他酉不变范数。
Heinz不等式
正定矩阵可应用于Heinz不等式。
令由不等式（1）和（2），在几何平均与算数平均中插值可以得到：
广义正定矩阵
正定矩阵的推广是采用非奇异实对称矩阵乘原矩阵，使乘积成为对称矩阵的技术对实对称正定矩阵所作的推广。
定义：设若对都有正对角矩阵使则称为广义正定矩阵。
其性质为对称正定矩阵和实正定矩阵之积为广义实正定矩阵，即为广义实正定矩阵的充分必要条件是存在对称正定矩阵和实正定矩阵使或。
应用
判断环境污染来源
随着沿海城市的经济快速发展，海洋生态受到工业废水、生活废水等多种污染，因此海洋环境检测显得尤为重要。基于正定矩阵因子模型的海域污染特征解析框架，能够对海湾的进行水质综合评价和污染源解析，可以为当地的水环境保护和科学管理提供依据和参考。正定矩阵因子模型通过最小二乘法迭代计算求解，能够快速完成源解析工作，帮助研究海洋污染物来源，此外还适用于大气、土壤、河流等领域。
人工智能
神经网络系统是一种非线性动力大系统，近年来学术界对它多有关注，人们期望通过其产生人工智慧、计算机科学和信息科学的一场革命。因其作为一种非线性动力大系统，研究其稳定性是一个非常重要的方面。而正定矩阵就可运用到这一方面，在设计系统时，为使其处于稳定平衡，可以通过保证平衡方程成立和矩阵的负定位原则，从而选择合适的系统参数。因此在对矩阵负（正）定的简单的比较一般性的条件就显得很有必要，通过对对矩阵的推算，可以得到相应的数据，运用到非线性动力大系统中。
计算机科学
正定矩阵线性方程组求解方程组，可以应用于SVM正则化路径的求解，一方面通过Cholesky分解提高求解SVM的计算效率，另一方面也降低求解正则化参数的计算机开销。现有的SVM正则化路径算法不能处理具有重复的数据、近似数据或线性相关数据，或者计算的开销过大。针对这些问题，应用正定矩阵方程组求解方法来解SVM正则化路径，提出正定矩阵svm正则化路径算法。该算法将迭代方程组的系数矩阵转换为正定矩阵，并采用Cholesky分解方法求解路径上各拐点处Larange乘子增量向量，同已有算法中直接求解正则化参数不同，该算法根据活动根据活动机变化情况确定参数增量，并在此基础上计算正则化参数，保证理论的正确性和数值的稳定性，并降低计算的复杂性。此外，基础正定矩阵的SVM正则化路径算法可适用于包含输入向量线性相关的样本集，拓展了SVM正则化路径算法的应用范围。