勾股数
勾股数，又名毕氏三元数（Pythagorean triple），指能够构成直角三角形三条边的三个正整数。勾股数满足勾股定理，常见的勾股数有（3，4，5）（5，12，13）等。
历史
中国
勾股数与勾股定理在中国有着悠久的历史，中国古代将较短的直角边称为勾，较长直角边称为股，而斜边称为弦，故称指能够构成直角三角形三条边的三个正整数为“勾股数”。
中国关于勾股数的最早记载为《周髀算经》的卷首中，西周开国时期的大夫商高在与周公对话时提到：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”
中国关于普遍勾股定理的最早记载为《周算经》的第二卷中，陈子在与荣方对话时提到测日法：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，匀股各自成，并而开方除之。得邪至日，从所衰至日所十万里。”在陈子的时代，认为地是平的，太阳垂直照射于地，垂足叫日下点，观测点、日下点、太阳三点构成直角三角形中日高为股，日下为勾，则勾股平方和的开方为邪至日。
《九章算术》第九卷中也包含了勾、股、弦以及三者关系等内容，所设勾股数仅互质的就有八组之多。
西方
西方关于勾股数的最早记载为Plimpton 322泥板上的数，表明巴比伦在公元前1700年已发现勾股定理。
拜占庭学者Proclus（公元5世纪）在其数学史专著中指出 “ 希腊Rhodes岛的Eudemus（公元前4世纪）称Pythagoras学派发明此定理，所以勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，因此勾股数别名“毕氏三元数”。希腊利奥六世柏拉图（公元前427一前347年）对此定理仅就其特殊情况作了图证 ”。
西方对勾股定理的明文记载始见于Euclid (公元前330一前275年)《几何原本》，他利用图形分割、全等三角形以及面积关系等知识进行演绎推理。
定义
勾股数指能够构成直角三角形三条边的三个正整数，根据勾股定理，。
常见勾股数
公式
基本公式
，，，其中
证明方法
假设，且
所以中必有一个偶数，不妨设，等式化为
为偶数，则同奇偶，作代换：，显然M，N为正整数
假设不成立，即存在质数，使得,
那么, 从而, 从而
这与矛盾，所以得证
根据算术基本定理：一个大于1的正整数n，如果它的标准分解式为，那么它的正因数个数为
，其中等均为偶数，等均为质数
如果对于某个，的因子为奇数个，则对应的因子必为奇数个
从而，，矛盾
则对于所有质因子,，即M，N都是平方数
则不妨设，从而有
解得，
应用
可以用于求解所有的基本勾股数，但无法得到所有的派生勾股数。
相关推论
通过同乘以任意整数的方法求得所有解：
其中，，m和n必须为一奇一偶，t为正整数
（参考资料）
完全公式
，
当m为奇数时，k={1，的所有小于m的因子}
当m为偶数时，k={的所有小于m的偶数因子}
不同勾股数（a，b，c）的组数N等于k的可取值个数，可由算数基本定理求出
算数基本定理：一个大于1的正整数n，如果它的标准分解式为，那么它的正因数个数为
当m为奇数时，
当m为偶数时，
其中，为互不相同的奇素数，为幂指数。
应用
求出基本勾股数与派生勾股数，以及勾股数的组数。
举例
当m为偶数432时，k={的所有小于432的偶数因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}
将及24组不同k值分别代入，求得b、c
即得直角边时的基本勾股数与派生勾股数。
（参考资料）
简便求解方法
类型一
公式
当a为大于1的奇数时，
举例
n=1时
n=2时
n=3时
…以此类推
特点
此外由于两个连续自然数必然互质，则此方法得到的勾股数组全部是互质的
类型二
公式
当a为大于4的偶数2n时，，即把a的一半的平方分别减1和加1
举例
n=3时
n=4时
n=5时
…以此类推
特点
此外当n为奇数时，由于(a,b,c)是三个偶数，得到的勾股数组必然不是互质的；
当n为偶数时，由于b、c是两个连续奇数必然互质，得到的勾股数组互质。
推广
若想得到互质的数组，求解方法为：对于 (),，例如：
n=2时
n=3时
n=4时
…以此类推
（参考资料）