简单百科
因数

因数

因数（factor）定义为整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，就说b是a的因数。例如，6÷2=3，就说2是6的因数。

因数是代数基本概念之一，倍数是与它相对的概念，它们的发展历史可追溯到古代文明时期。希腊与中国等国家或地区都有各自对最小公倍数的认识。古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出了关于因数的概念。在中国北魏时期数学家张邱健著作《算经》一书中，有个世界有名的不定方程问题“百鸡术”，其中就阐述了最小公倍数与最大公因数的关系。

与因数相关的定理包括带余除法定理与辗转相除法定理。相关的运算包括，求因数、求最大公因数、以及质因数分解，对它们的求解可以应用不同的方法。因数及其运算在工程、密码学、工业领域中都具有广泛的应用价值。

定义

因数（factor）定义为整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，就说b是a的因数。

简史

代数起源

在希腊数学的基础上，阿拉伯人有了自己的数学。至于阿拉伯数字的起源问题人们还不甚清楚。狄奥多里希大帝统治时期，波伊提乌曾使用一些符号，这与与现在人们使用的9个数字非常接近。热尔贝有个学生也曾使用一些符号，与现在更为接近。但有一种说法，认为在9世纪前，“0”还没有出现，它的出现要归功于穆斯林数学家穆罕默德·伊本·穆萨的发明，他也是第一个使用十进位的人，数字位置的值也是由他确定的。但对这种说法很多印度人表示怀疑，他们认为0和十进制是印度人发明的。阿拉伯人在几何学上没有大的建树，但他们却创造了代数，还有就是发展了球面三角学，正弦、正切和余切诸线也是阿拉伯人的创造。早在古代与中国等国家或地区都有各自对最小公倍数的认识。

因数的起源

因数和阿拉伯数字的具体起源一样都无法考证，但在《》中提出了因数的概念。并且后来还发明了一种计算最大公因数的算法，学术界称“欧几里得算法”又称辗转相除法。在中国时期数学家张邱健著作《算经》一书中，有个世界有名的不定方程问题“”，其中就阐述了最小公倍数与最大公因数的关系。

计算

求因数的方法

求因数的方法根据定义:依次列出积为这个数的乘法算式，每一个乘法算式可以找出这个数的一对因数。

例如，，所以1，2，3，4，6，12 是12的因数。

根据除法算式:把这个数固定为被除数，只要改变除数，按照顺序，依次用1，2，等除这个数，若所得商是整数，则除数和商都是被除数的因数。

例如，，所以 1，2，4，8是8的因数。

求最大公因数

欧几里得算法

早在公元前50年左右，中国第一部数学名著《九章算术》中的第一章(方田章)的约分术中就已指出:“置分母、子之数，以多减少，更相减损，以求其等也，以等数约之。辗转相除法又名“欧几里得算法”是求最大公约数（最大公因数）的一种方法，应用了上面介绍的辗转相除法定理。它的具体做法是:用较大数除以较小数，再用出现的余数(第一余数)去除除数，再用出现的余数(第二余数)去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

例如，求1218和546的最大公因数，用辗转相除法计算格式如下：

即先用较小的一个数546作为除数，去除1218，得余数126;然后以126为除数，去除上一次的除数546，得余数42;再以42 为除数，去除上一次的除数126，此时刚好除尽，那么这最后一个除数 42(也就是最后一个不为零的余数)便是1218和546的最大公因数。

欧拉算法

虽然可以用辗转相除法可以把两个数的最大公因数表示为这两个数的倍数和，但是这一过程烦琐而且容易出错，欧拉给出了下面的方法，称之为欧拉算法。

例如，把表示成5767与4453的倍数和。

解：逆转辗转相除法的求解过程，可得

。

长城欧拉算法，其步骤如下:

(1)最后一个商=3不要，将其余的商按相反次序排成一行:

，，，，，

写在横线上方。

(2)在横线下方，对齐横线上方左数第一个商写，在的左边写数1。

(3)用横线上方左数第二个商按箭头所示方向乘，再加左侧箭头所指向的数值1，把所得结果对齐写在横线下方。以下各步仿照上一步进行，直到算写完毕为止。

(4)在横线下方最后写出的两个数，就是“把表示成表示成5767与4453的倍数和”时，5767，4453的倍数的绝对值(大小交叉配值)，倍数的符号分别为，，其指数分别为辗转相除的次数减2、减1(指数相差1，配小值者指数低)。

根据算法图解1和2可得：

质因数分解

质因数分解式对于任何一个大于1的自然数，可以把它唯一地分解成若干个质因数的连乘积，称表示这一分解的算式为该自然数的质因数分解式。如果将其中的质因数由小到大严格地由左到右排列，并把相同的质因数表示成幂指数的形式，这样得到的质因数的连乘积称为自然数的标准分解式。

例如，

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，这个过程叫作这个合数的“分解质因数”。分解质因数只针对合数。

例如，

。

使用短除法分解质因数

把一个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数(通常从最小的质数2开始)去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式;得出的商如果是合数，就照下面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。

例如，对于360，我们就可以质因数分解成，如图1所示。

树枝分解法

先把一个数写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不用再分解了;如果两个因数中还有合数，那就要继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。

把60分解质因数是:

例如，把60分解质因数。如图2

第一步:把60写成两个因数相乘的形式。

第二步:6和10都不是质数，是合数，所以继续分解成两个因数相乘的形式。

第三步:全部因都是质数，结束。

应用

摩阻因数在石油工程中的应用

利用系统聚类分析，将整个井眼划分为多个不同摩阻因数的井段，结合钻柱摩阻扭矩模型，采用模拟退火算法反演计算各个井段摩阻因数的最优值;基于分段摩阻因数，考虑钻孔机承载能力、岩石破碎条件、摩阻力条件、钻柱强度条件、钻柱刚度条件，建立水平井延伸极限判断准则和预测模型。现场应用结果表明：采用分段摩阻因数反演方法计算的大钩载荷和井口扭矩的预测值与实测数据具有良好的相关关系，平均误差绝对值分别为3.72%、3.45%，较传统反演方法预测精度分别提高54.8%、51.8%。随摩阻因数的增大，水平井延伸极限明显降低。该结果可为水平井延伸极限预测提供参考。

质因数在密码学中的应用

一般来说，公钥密码的安全性由相应数学问题在计算机上的难解性来保证，以广为使用的RSA算法为例，它的安全性建立在大整数质因子分解在计算机上的困难性。在数学中，把一个合数变成质数乘积的过程被称为质因子分解。对于一台计算机来说，把两个很大的质数相乘，即使每一个质数长达100位，计算出结果也并不难。然而，把一个很大的数分解成质数的乘积则是出了名的困难。例如，对于整数22，我们易于发现它可以分解为2和11两个质数相乘，但对于一个几百上千位的整数，即使采用相应算法，对于计算机来说，也要很长时间才能完成分解。

电力工业功率因数的定义及应用

在电工原理中，对于线性电路，功率因数(功率 factor，PF)可以直接用正弦曲线电压和正弦电流之间的相位差φ来计算和表示，定义为：

如果整流桥后面没有并联的滤波电容，而是直接与纯阻性负载相连，则电压和电流之间的相位差为0，功率因数是1。因此，功率因数校正技术的本质，就是要使用电设备的输入端对输入电网呈现“纯阻性”，也就是要使输入电流和输入电压之间的相位相同。另一方面，从能量传输的角度来讲，功率因数校正技术就是要使用电设备的输入端只从输入电网中汲取能量，而不要将能量重新反馈回输入电网。在整流电路中，尽管输入电压为正弦波，但是输入电流却为严重畸变的非正弦电流图((b))所示，因此线性电路中的功率因数计算方法不再适用。假设输入电压波形为u„(t)，其周期为T，输入电流波形为i(t)，则功率因数定义：

通过对功率因数的测定，电厂可以更好的解决电力电子装置带来的谐波污染和无功问题。

参考资料

术语在线.术语在线.2023-12-19

因数

定义

相关概念

合数

公因数

最大公因数

质因数

简史