斯特瓦尔特定理
斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。该定理是由斯特瓦尔特提出的。在初高中数学竞赛中十分常见，特别是其推论，也就是能够直接写出三角形中线长和角平分线长的公式，以及平行四边形四条边平方和等于对角线平方和重要定理。
定理定义
设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有：
AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。
验证推导
证法一
已知：如图2－6所示，作AH⊥BC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧。
由广勾股定理有：
AC²=AD²+DC²-2DC·阿联酋迪拉姆（1）
AB²=AD²+BD²+2BD·DH······（2）
用BD乘（1）式两边得：
AC²·BD=AD²·BD+DC²·BD-2DC·DH·美国BD公司（3）
用DC乘（2）式两边得：
AB²·DC=AD²·DC+BD²·DC+2BD·DH·DC······（4）
由（3）+（4）得到：
AC²·BD+AB²·DC
=AD²·(BD+DC)+DC²·BD+BD²·DC
=AD²·BC+BD·DC·BC
∴AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD
证法二
已知：如图2－6所示，在△ABC中，点D是线段BC上的一点，连接AD。
求证：AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。
证明：
∵∠BDA+∠CDA=180°
∴cos∠BDA+cos∠CDA=0
根据余弦定理得：
AB²=BD²+AD²-2BD·AD·cos∠北京经济技术开发区（1）
AC²=CD²+AD²-2CD·AD·cos∠CDA······（2）
用CD乘（1）式两边得：
AB²·CD=BD²·CD+AD²·CD-2BD·AD·CD·cos∠BDA
用BD乘（2）式两边得：
AC²·BD=CD²·BD+AD²·BD-2CD·AD·BD·cos∠CDA
由（3）+（4）得到：
AB²·CD+AC²·BD
=BD²·CD+AD²·CD-2BD·AD·CD·cos∠BDA+CD²·BD+AD²·BD-2CD·AD·BD·cos∠CDA
=(BD²·CD+CD²·BD)+(AD²·CD+AD²·BD)-(2BD·AD·CD·cos∠BDA+2CD·AD·BD·cos∠CDA)
=BD·CD·(BD+CD)+AD²·(CD+BD)-2BD·AD·CD·(cos∠BDA+cos∠CDA)
=BD·CD·BC+AD²·CD-2BD·AD·CD·0
=BD·CD·BC+AD²·CD
∴AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。
斯特瓦尔特定理的逆定理成立。
定理推广
斯特瓦尔特定理还有如下推论:
在△ABC中，点D是线段BC上的一点，连接AD。
(1)若AB=AC，则AD²=AB²-BD·DC；
(2)若AD为BC中线，则AD²=1/2(AB²+AC²)-1/4BC²（即中线定理）；
(3)若AD为∠BAC内角平分线，则AD²=AB·AC﹣BD·DC（即角平分线长公式）；
(4)若AD为∠BAC外角平分线，则AD²=﹣AB·AC+BD·DC；
(5)若BD/BC=λ，则AD²=λ·(λ﹣1)·BC²+(1﹣λ)·AB²+λ·AC²。
常见应用
①用于得到线段倍份关系；
②用于求解三角形问题（选择适当的三角形及其边上的点；灵活运用推论）。
③其在等腰三角形中的推广，可用于求解与圆有关的问题（与圆的幂，切线长定理等相结合）。