雅可比椭圆函数，数学术语，常见于高等数学之中。
雅可比椭圆函数的定义
第一类椭圆积分
z=∫[(1-t^2)(1-k^2*t^2)]^(-1/2)dt (0~ω)
的反函数是双周期的亚纯函数，记作
ω=sn(z)=sn(z,k)
它具有基本周期：
ω=4K=4∫[1-k^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2)
ω'=2iK'=2i∫[1-k’^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2) k'=Sqr(1-k^2)
sn(z)称为椭圆正弦，k为模，k‘为补模。若
sin(φ)=sn(z)
则称φ为z的振幅函数，记作 φ=am(z) 又定义
cn(z)=cos(φ)=sqr(1-sn(z)^2) (椭圆余弦)
tn(z)=tan(φ)=sn(z)/cn(z) (椭圆正切)
dn(z)=sqr(1-k^2*sn(z)^2)
上式中 sn(z) cn(z) tn(z) dn(z) 统称雅可比椭圆函数，它们都是二阶椭圆函数。
雅可比椭圆函数的性质
特殊点的值
z0 K/2K iK'/2 K+iK'/2iK'K+iK'sn(z)0(1+k'^2)^(-1/2)1 ik^(-1/2) k^(-1/2)∞1/kcn(z)1sqr(k'/(1+k'))0sqr((k+1)/k)-sqr((k-1)/k)∞-ik'/kdn(z)1 k'^(1/2)k' sqr(1+k) sqr(1-k)∞0
周期，零点，极点，留数
诱导公式表
sn(mK+niK±z)
cn(mK+niK±z)
dn(mK+niK±z)
基本关系
sn(z)^2+cn(z)^2=1
dn(z)^2+k^2*sn(z)^2=1
dn(z)^2-k^2*cn(z)^2=k'^2
am(-z)=-am(z)
sn(-z)=-sn(z)
cn(-z)=cn(z)
tn(-z)=-tn(z)
dn(-z)=-dn(z)
由此可见，雅可比椭圆函数的关系与圆函数（三角函数）相似。
转换关系
加法公式
-
-
-
-
倍数公式
-
-
-
-
半数公式
-
-
-
-
乘法公式
-
-
-
-
-
导数公式
-
-
-
-
-
-
积分公式
词条图册更多图册