在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。
简介
分角定理是平面几何中的一条基础定理。山东省济南市王家琦和姚林宏宣称其是该定理的发现者和命名者。事实上早已有人发现了这个关系，只是因它过于简易而不值得称为“定理”罢了。
应用分角定理可以处理很多涉及到边角转换、比例线段的几何问题。
证明
S△ABD/S△ACD=BD/CD(1.1)
S△ABD/S△ACD=[(1/2)*AB*AD*sin∠BAD]/[(1/2)*AC*AD*sin∠CAD]=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)(1.2)
由1.1式和1.2式得
BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)
推广
∵由正弦定理得AB/AC=sin∠ACB/sin∠ABC
∴有时，上式也写成：BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(sin∠ACB/sin∠ABC)，这样就实现了线段比彻底转化成角的比。
与其他转换
（一）用《分角定理》证明《张角定理》：即三角形内有一条分角线，各分角正弦与不相邻边的比之和=大角正弦与分角线之比。△ABC中,AD内分∠BAC,则有（sin∠BAD/AC）+(sin∠CAD/AB)=(sin∠BAC/AD)。
证明：由AC外分∠BAD,由《分角定理》→（CD/CB）=（sin∠CAD/sin∠CAB）·（AD/AB）→
(sin∠CAD/AB)=(CD/CB)·(sin∠CAB/AD⑴,由AB外分∠CAD,由《分角定理》→（BD/BC）=
（sin∠BAD/sin∠BAC）·（AD/AC）→(sin∠BAD/AC)=（BD/BC）·(sin∠BAC/AD⑵。由⑴+⑵→
(sin∠BAD/AC)+(sin∠CAD/AB)=sin∠BAC(BD+CD)/(BC·AD)=(sin∠BAC/AD)。证毕。
（二）用《分角定理》证明《三弦定理》：过圆上一点A任作三条弦，AB（左）、AC（右）、AD（中），则有AB·sin∠CAP+AC·sin∠BAP=AD·sin∠BAC。（AD与BC交于P）
证明：由AC外分∠BAP,由《分角定理》→(sin∠CAP/sin∠BAC)=（CP/BC）·（AB/AP）→(AB·sin∠CAP/
sin∠BAC)=（CP/BC）（AB·AB）/AP⑴，同理由AB外分∠CAP,由《分角定理》→(AC·sin∠BAP/sin∠BAC)=
（BP/BC）（AC·AC）/AP⑵，由⑴+⑵→(AB·sin∠CAP+AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC[（CP·AB·AB）/（AP·BC·AD）+（BP·AC·AC）/（AP·BC·AD）]=AD·sin∠BAC[（CP/AP）（AB/BC）（AB/AD）+（BP/AP）（AC/BC）（AC/AD）]=AD·sin∠BAC[（sin∠CAP/sin∠ACP）（sin∠ACP/sin∠BAC）（AB/AD）+（sin∠BAP/sin∠ABC）（sin∠ABC/sin∠BAC）（AC/AD）]=AD·sin∠BAC[（sin∠CBD/sin∠BDC）（AB/AD）+（sin∠BCD/sin∠BDC）（AC/AD）=AD·sin∠BAC[（CD/BC）（AB/AD）+（BD/BC）（AC/AD）]=AD·sin∠BAC[（CD·AB）/（BC·AD）+（BD·AC）/（BC·AD）]由《托氏定理》，所以有
(AB·sin∠CAP+AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC。证毕。
（三）用《分角定理》证明《全面三割线定理》：过圆外一点。任作三条割线，则有
（PB·sin∠DPQ+人民军sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ=（sin∠EPQ/PD+sin∠DPQ/PE）×sin∠DPE·PC。
证明：连AE交PC于M，连BD交PC于N，连AC、BC、DQ、EQ。
由PD外分∠BPN，由《分角定理》→(sin∠DPQ/sin∠DPE)=（DN/DB）·（PB/PN）→
PBsin∠DPQ=sin∠DPE（DN·PB·PB）/（DB·PN）⑴。
由PE外分∠APM，由《分角定理》→(sin∠EPQ/sin∠DPE)=（EM/EA）·（PA/PM）→
PAsin∠EPQ=sin∠DPE（EM·PA·PA）/（EA·PM）⑵。由⑴+⑵→
PBsin∠DPQ+PAsin∠EPQ=sin∠DPE[（DN·PB·PB）/（DB·PN）+（EM·PA·PA）/（EA·PM）]×PC/PC
=PCsin∠DPE[（DN/PN）（PB/DB）（PB/PC）+（EM/PM）（PA/EA）（PA/PC）]
=PCsin∠DPE[(sin∠DPQ/sin∠PDN)(sin∠PDN/sin∠DPE)(sin∠PCB/sin∠PBC)+(sin∠EPQ/sin∠PEM)
(sin∠PEM/sin∠DPE)(sin∠PCAsin∠P.A.C)]，两边×sin∠DPE/PQ→
（PBsin∠DPQ+PAsin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ=PCsin∠DPE[（sin∠DPE/PQ）(sin∠DPQ/sin∠DPE)
(sin∠PEQ/sin∠PQE)+（sin∠DPE/PQ）(sin∠EPQ/sin∠DPE)(sin∠PDQsin∠PQD)]→
（PBsin∠DPQ+PAsin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ=PCsin∠DPE[(sin∠DPQ/PQ)（PQ/PE）+(sin∠EPQ/PQ)（PQ/PD）]
∴（PBsin∠DPQ+PAsin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ=PCsin∠DPE[(sin∠DPQ/PE)+(sin∠EPQ/PD)]证毕。