哈密顿系统

又称典型系统或正则系统或哈密顿典型系统(方程)，常简记为H.S.。在对映射函数适当的要求之下，证明了2维点映射不变闭曲线存在，从而得到太阳系是稳定的结论，这是非常重要的成就。

方程推导

又称典型系统或正则系统或哈密顿典型系统(方程)，常简记为H.S.。指如下形式的一阶微分方程系统

是由英国科学家W.R.哈密顿于1835年引进，广泛应用于力学、物理学，形成了一整套的理论。上式中的 p称为广义冲量（或动量）， q称为广义坐标，( p, q)称为共轭变量，也称为典型变量， q空间称为构形空间，( p, q)空间称为相空间， H 则称为哈密顿函数。

如 H 中不含 t，则(*)称保守系统；此时，

h= C

为系统的一个初积分，例如， T为动能， V为势能，则 h= T+ V= C表能量守恒定律。如 H 中含 t，取 t= qn+1，并取，即可得到不含 t的 啛 的H.S.：

所以， H 中不含 t的哈密顿系统具有一定的广泛性。

（J.-）H.亨利·庞加莱曾在他的名著《天体力学新方法》(1892～1899)中暗示许多力学中的微分方程系统都可化成H.S.,但他只举出一些例子，没有证明。后来P.A.M.保罗·狄拉克证明下述结果(1935)，对庞加莱的暗示作了很好的补充。设有，令即得H.S.:，。因此，研究H.S.理论就是研究一般的一阶正规型微分方程系统，只是引进了余切空间( y1, y2,…, yn)而已。

当 H= H0( p)，即只含 p时，称为可积系统。因为，而，从而，当 q为角变量时，积分曲线在 p= p0环面上。

典型变换

卡姆 (KAM)理论

关于哈密顿系统方程组的解的稳定性理论。是由A.H.安德雷·柯尔莫哥洛夫，Β.И.阿尔诺德和J.K.莫泽三人共同建立的(1954、1963)，因而得名。他们严格证明了拟周期解的存在性，即几乎可积系统，有填满不变环的拟周期解存在。这是哈密顿系统，特别是它的定性理论的近代发展中的最重要的成就。

1889年由亨利·庞加莱所开创的哈密顿系统的定性理论中最深刻的结果是限制性三体问题中近圆形轨道的稳定性，这个结果的证明即来自KAM理论，从而使P.-S.皮埃尔-西蒙·拉普拉斯提出的，已历时200年的太阳系稳定性问题得到重要的突破。无论从微分方程方面，或从天体力学方面来看，这都是重大的贡献，得到广泛重视。

KAM理论很复杂，它的思想略述如下。

把变换倒过来，( P, Q)→…→( p, q)，在一定条件下，有些环面只是被了，但并没有破裂。积分曲线中有的还在被扭曲了的环面上。特别，当环面是三维空间的环面，则积分曲线被围困在两相邻环面之间，无法逸出，显示出运动的约瑟夫·拉格朗日稳定性。

参考资料

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