几何变换是建立在集合的变换与映射基础上的。例如：设T是平面pai的一个变换，F是平面上的一个图形（即平面的一个子集），令F'=T（F）=T（A）|A属于F ，那么，图形F'称为图形F在变换T下的像,T是一个几何变换。它有其基本性质：一、翻折变换，二、平移变换，三、旋转变换。
正文
在几何的解题中，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，我们可以将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的解答．图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在解题中会收到奇效，也将有效地提高思维品质．
初中图形变换包含平移、翻折和旋转，我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题。
几何变换的定义
几何变换是建立在集合的变换与映射基础上的。
设T是平面pai的一个变换，F是平面上的一个图形（即平面的一个子集），令
那么，图形F'称为图形F在变换T下的像,T是一个几何变换。
基本性质
如果平面上一个点A满足,那么A称为T的不动点；如果图形F满足那么F是T的不变图形。
如果对于平面上任意两点A,B与其象点总有那么称T为合同变换
如果存在一个常数k，使,那么称T为相似变换，k为相似系数或相似比
保持角的方向不变的相似变换为真正相似变换，角的方向相反的为镜像相似变换。
两图形真正相似也称顺相似或同向相似，镜像相似也称逆相似。
一、翻折变换
内容提要：翻折变换是平面到自身的变换，若存在一条直线l，使对于平面上的每一点P及其对应点P′，其连线PP′都被定直线l垂直平分，则称这种变换为翻折变换，定直线l称为对称轴．翻折变换有如下性质：
(1)把图形变为与之全等的图形；
(2)关于l对称的两点连线被l垂直平分．
证题过程中使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散条件相对集中，以利于问题的解决．
二、平移变换
内容提要：平移变换是平面到自身的变换，将平面上任一点P变换到P′，使得：(1)射线PP′有给定的方向；(2)线段PP′有给定的长度．则称这种变换为平移变换．在平移变换下，图形变为与之全等的图形，直线变为与之平行的直线．
在解几何问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形．
三、旋转变换
内容提要：旋转变换是平面到它自身的变换，使原点O变换到它自身，其他任何点X变到X′，使得：(1)；(2)．则称这样的变换为旋转变换，O称为旋转中心．旋转变换保持图形全等，但图形方位可能有变化．在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使能组合成新的有利论证的图形．
竞赛知识点拨
一、平移变换
1． 定义 设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX’，图形FF‘ 。
2． 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。
二、轴对称变换
1． 定义 设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得X与X‘关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX’，图形FF‘ 。
2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。
三、旋转变换
1． 定义 设α是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X’，使得，且，则R叫做绕中心O，旋转角为α的旋转变换。记为XX‘，图形FF’ 。
其中时，表示的始边OX到终边OX’的旋转方向为顺时针方向；时，为逆时针方向。
2． 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。
四、位似变换
1． 定义 设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得 =k·，则H叫做以O为位似中心，k为位似比的位似变换。记为XX’，图形FF‘ 。
其中k\u003e0时，X’在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似；时, X‘在射线OX的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。
2． 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。
竞赛例题剖析
【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且。
求证：
【分析】作变换
则。由都是平行四边形，知。由已知，得。
四点共圆。故
【例2】“风平三角形”中，
求证：
【分析】作变换，则R’、R‘’重合，记为共线，共线，共线，为等边三角形。
【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。
【分析】取AC、BD的中点E、F，令，则是一个符合条件的平行四边形。延长。
∵E是AC的中点且分别为的中点。
同理可得
故当四边形为平行四边形时，周长最小。
【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。
【例4】P是的弦AB的中点，过P点引的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。求证：。（蝴蝶定理）
【分析】设GH为过P的直径，FF’F，显然。又，
又
，四点共圆。
【评注】一般结论为：已知半径为R的内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦，连交AB于，已知，P到AB中点的距离为a，则。（解析法证明：利用二次曲线系知识）
【例5】是给定锐角内一个定圆，试在及射线上各求一点使得的周长为最小。
【分析】在圆O上任取一点P0，令，连结分别交。显然是在取定P0的情况下周长最小的三角形。
设交CA于E，交CB于F，则
∵四点共圆，CP0是该圆直径，由正弦定理，
∴当CP0取最小值时，EF为最小，从而△P0Q1R1的周长为最小，于是有作法：
连结OC，交圆周于P，令，连结分别交。则P、Q、R为所求。
【例6】是它的任一内接三角形。求证：
【分析】设。则
又，A点在线段P‘P’‘上或在凸四边形的内部。
【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。
【例7】以的边为斜边分别向外作等腰直角三角形，M是BC的中点。求证：
【分析】延长BP到E，使，延长CQ到F，使，则都是等腰三角形。
显然：
而
【例8】已知O是内一点，P是内任一点，求证：
【分析】将连结。则都是正三角形。
。显然
由于四点共线。
【例9】的三边分别交于点过上述六点分别作所在边的垂线，设三线相交于一点D。求证：三线也相交于一点。
【分析】关于圆心O成中心对称，
同理，
的公共点D在变换下的像D’也是像的公共点，即三线也相交于一点。
【例10】的外接圆O的直径，过D作的切线交BC于P，连结并延长PO分别交AB、AC于M、N。求证：。
【分析】设，而MB，
三点共线，三点共线，且。
取BC中点G，连结
四点共圆。
，而由
四点共圆。
而G是BC的中点，