逼近理论是数学中的一个重要分支，它探讨如何用较简单的函数来找到对复杂函数的最佳逼近，并且能够量化产生的误差。这个“最佳”的定义和“较简单”的函数的选择会根据不同的应用场景而有所变化。
基本介绍
逼近理论在数学中的一个重要应用是通过广义傅立叶级数进行函数逼近，即利用正交多项式构成的级数来逼近目标函数。在计算机科学领域，逼近理论关注如何使用计算机或计算器能够执行的基本运算（如乘法和加法）来尽可能地逼近数学函数。这通常涉及使用多项式或有理函数（即两个多项式的商）来实现。逼近理论的目标是尽可能地逼近实际的函数，通常要求精度接近电脑浮点运算的精度。为了达到这一目标，通常会使用高次多项式，并缩小多项式逼近函数的区间。现代数学函数库通常会将函数的定义区间划分为多个小区间，并为每个小区间配备一个次数较低的多项式。
最佳多项式
在逼近理论中，确定了多项式的次数和逼近的范围后，可以根据最小化最坏情形误差的原则来选择逼近多项式。这意味着目标是最小化逼近多项式P(x)与实际函数f(x)之间的绝对误差。对于良态的函数，存在一个N次多项式，使得误差曲线在正负ε之间震荡至多N+2次，且最坏情形的误差为ε。一个N次多项式可以内插曲线中的N+1个点。虽然存在一些极端的函数，可能无法找到满足上述条件的多项式，但在实际应用中很少需要为这样的函数进行逼近。
切比雪夫近似
切比雪夫近似是一种特殊的逼近方法，它通过将函数展开为切比雪夫多项式的级数，根据所需的逼近程度确定展开的项次，从而得到一个接近目标函数的多项式。这种方法类似于傅立叶分析，但是使用切比雪夫多项式代替了三角函数。切比雪夫近似的一个特点是，当函数的切比雪夫展开被截断时，产生的误差近似于截断后的第一项。切比雪夫多项式在[-1, 1]区间内的值在+1和-1之间震荡，因此切比雪夫近似的误差近似于一个有N+2个极点的函数，这使得它成为近似最佳的N次多项式。切比雪夫近似也是数值积分方法Clenshaw–Curtis正交法的基础。
雷米兹算法
雷米兹算法是由苏联数学家雷米兹在1934年提出的，用于生成在一定区间内逼近函数f(x)的最佳多项式P(x)。这是一种迭代算法，最终会收敛到使误差函数在N+2个极值处的多项式。算法的基础是可以创建一个N次多项式，其误差函数在0附近震荡，且有N+2个测试点。通过解一组线性方程组，可以求解出多项式P及误差ε。雷米兹算法的第二步是将测试点移到误差函数有最大值或最小值的位置，通常使用切线法来确定新的测试点位置。算法需要计算f(x)的一阶和二阶导数，且精度要求很高。雷米兹算法的收敛速度很快，对于良态的函数，它是二次收敛的。在使用雷米兹算法时，通常会选择切比雪夫多项式T_{N+1}的零点作为初始测试点，因为最终的误差函数会类似于切比雪夫多项式。