正十七边形

正十七边形，几何学术语，约翰·卡尔·弗里德里希·高斯于1796年证明正十七边形可以用尺规作图法作出。

起源

正十七边形可以用尺规作出来，这是高斯1796年19岁时证明的。这是正多边形尺规作图两千年来头一次有所突破——换句话说，上一次人们发现新的正多边形尺规作图法还是在古希腊。但是，高斯本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出，而上面的这个方法——“卡莱尔圆法”则要更晚。

证明

高斯知道，如果一个正多边形内角的三角函数能用加减乘除和开平方表达出来，那就意味着这个正多边形能用尺规作出来。（尺规等价于只使用圆和直线的交点作图，直线的表达式是二元一次方程，圆的表达式是二元二次方程，所以只用到了加减乘除和开平方）而他又证明了，只要正多边形的边数n是皮耶·德·费玛素数，那么就能这么表达。当时人们已经知道前五个费马素数是3、5、17、257和65537，所以高斯等于一举证明了这五种正多边形都是尺规可作的。

先计算或作出

设正17边形中心角为a，则,即

故，而

因不等于0，两边除之有：

又由(三角函数积化和差公式)等

注意到(诱导公式)等，有

令：

有：

又

=

经计算知

因而：,

其次再设：

故有

最后，由

可求cosa之表达式,

它是有理数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出。

尺规作图步骤

1、以O为圆心作一个圆，在圆周上任取一点P1作为正十七边形的第一个顶点；

2、画出直径OP1，并作另一条半径OB垂直于OP1；

3、把OB四等分，得到J点；

4、连接JP1，作角OJP1的四等分线JE；

5、作一个45度角EJF；

6、以FP1为直径作半圆，交OB于K点；

7、以E为圆心，EK为半径作半圆，交直径OP1于N4点；

8、从N4点作OP1的垂线，这条垂线跟圆的交点就是正十七边形的第四个顶点P4；

9、有了P4剩下的顶点就都可以找到了，很容易，以P1P4为半径去截圆周，就依次得到全部顶点。

参考资料

趣味知识 | 正十七边形尺规作图.微信公众号.2025-02-04

如何用一张1×1的纸折出正七边形？.百家号.2025-02-04