基本群

这个概念最早是由亨利·庞加莱提出并加以研究。基本群的应用已经渗入到数学的各个分支。著名的庞加莱猜想也和基本群有关。

概括介绍

基本群是代数拓扑最基本的概念。

一个拓扑空间中，从一点出发并回到该点的闭合曲线，称为该点的一个回路。如果一条回路能够连续地形变成另一条回路（起始和终点不动），就称这两条路同伦等价。

我们把同伦的回路看成是相同的东西。对于给定的一点，所有的过该点的回路等价类全体形成一个集合。这个集合具有加法性质，即两条回路可以相加形成新的回路。

这样此集合形成了一个群，称为该点的基本群。如果拓扑空间是道路连通的，那么这个基本群和选择的起点无关，它只依赖于拓扑空间的几何结构。

基本群是平凡群的空间称为单连通的。可缩空间（就是可以连续收缩成一个点）和球面都是单连通的。

基本群到整数群的同态映射全体构成一个群，叫做1维同调群，它们是重要的拓扑不变量。

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