线性插值

线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式，其在插值节点上的插值误差为零。线性插值相比其他插值方式，如抛物线插值，具有简单、方便的特点。线性插值的几何意义即为概述图中利用过A点和B点的直线来近似表示原函数。线性插值可以用来近似代替原函数，也可以用来计算得到查表过程中表中没有的数值。

基础知识

已知函数在区间上个互异点上的函数值，若存在一简单函数，使

并要求误差

的绝对值在整个区间上比较小。这样的问题称为插值问题。

其中

：插值节点

：插值函数

：插值区间

如果在插值区间内部用代替则称为内插；在插值区间以外，用代替则称为外插。

线性插值是一种较为简单的插值方法，其插值函数为一次多项式。线性插值，在各插值节点上插值的误差为0 。

如概述图中所示，设置函数在两点，上的值分别为，，求多项式

使满足

由解析几何可知

称为在处的一阶均差，记以。于是，得

如果按照，整理，则

以上插值多项式为一次多项式，这种插值称为线性插值。

线性插值的几何意义如右图所示，即为利用过点和的直线来近似原函数。

1）线性插值在一定允许误差下，可以近似代替原来函数；

2）在查询各种数值表时，可通过线性插值来得到表中没有的数值。

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