半群
半群（英文：semigroup）是最简单、最自然的一类代数系统。一个非空集合S连同定义在它上面的一个结合（即满足结合律的）二元运算的代数系统称为一个半群。
半群作为群和环的推广，其最早研究可以追溯至1904年苏士凯维奇（Suschkwitz,A.K.）关于有限半群的研究，到了20世纪50年代才开始系统研究半群代数理论，在20世纪60年代，因《半群》和《半群代数理论》的出版，半群代数理论逐渐在国际上发展，后来在数学内部和外部的推动下，半群理论已成为代数学的一个公认的分支学科。半群相关性质有半群的同态以及格林关系，其类别较多，比如子半群、有限半群、正则半群等。
在半群的研究过程中，也利用了一些相关定理，比如半群的同态基本定理、乔治·格林定理等，同时，半群在数学、工程技术和生物学等领域都有广泛的应用。
简史
群的思想在《几何原本》中已经出现，但一直到18世纪才萌生群的概念，1854年凯莱（Arthur Cayley）第一次给出了群的公理化定义。半群作为群的推广，其最早研究可以追溯至1904年苏士凯维奇（Suschkwitz,A.K.）关于有限半群的研究，不过半群代数理论的系统研究开始于20世纪50年代。在20世纪60年代，苏联和美国率先出版了两本专著，利雅平（JIamn,E.C.）的《半群》和克利福德（Clif-ford,A.H.）与普雷斯顿（Preston,G.B.）的两卷《半群代数理论》，推动了半群代数理论在国际上的发展。而且德国施普林格科学+商业媒体出版社出版的《半群论坛》是有关半群理论的一个重要的国际性刊物。在数学内部和外部的推动下，半群理论已成为代数学的一个公认的分支学科。
定义
群
群是一个非空的元素集合，具有一个称为“乘法”的二元运算（即对任意的存在唯一的使得），且满足：
半群
半群（semigroup）是最简单、最自然的一类代数系统。一个非空集合连同定义在它上面的一个结合（即满足结合律的）二元运算的代数系统称为一个半群，简记为
相关性质
半群的同态
设是两个半群，是到的映射。若关于任意有则称是半群到半群的同态。当时，称是到的满同态，而称是的一个同态像。当是单射时，称是到的单同态。当是双射时，称是到上的同构，此时称半群与是同构的。
格林关系
格林关系是半群上五个重要的等价关系。设是一半群，用表示上的下述五个关系：
生成的等价关系，统称为格林关系。
的由生成的主左理想（主右理想，主理想），即的含的最小左理想（右理想，理想），恰为因此，格林关系和分别是用主左理想、主右理想和主理想通过上式定义起来的。关于格林关系有其中是由生成的主拟理想。于是在交换半群上,在群上,全关系。
格林引理
设是一半群,若且其中则右平移与分别是从到上及从到上保持类的互逆双射，其中表示含的类,表示在上的限制,时,是上的内右平移;时,是上的恒等变换。
格林定理
格林定理断言：若是半群的一个类，则或者或者此时是的子群。
由此可知,类是一个子群，当且仅当含幂等元。当是群时，就是的极大子群。
分类
幺半群
幺半群是含幺元（即恒等元）的半群。半群若存在使得关于任意有则称为幺半群。关于任意半群常用表示一个幺半群。若为幺半群，则若不为幺半群，则
子半群
子半群是与群的子群相平行的概念。设为一半群，若关于任意有则称是的子半群，用表示是的子半群。
单演半群
单演半群是与群论中循环群相平行的概念。若半群是由一个元素所生成的，记为则称为单演的。
诣零半群
若含有零元且关于任意存在使得则称半群是诣零的。
关系半群
若是一集合，上所有二元关系的全体记为则在如下运算下成一半群：存在使得称为上的全关系半群。的任意子半群称为上的一个关系半群。
有限半群
与群论中有限群相平行的概念。半群称为有限的且是有限集合，则称是有限半群，否则称为无限半群。
带
带是指仅有幂等元的半群。半群若关于任意有即中所有元均为幂等元，则称为一个带。利用带的交换性可定义两类特殊的带，即半格（交换带）和矩形带。
正则半群
设为一半群，若存在使得则称是的正则元。称中的元为的逆元。是的正则元，当且仅当也当且仅当与一幂等元有关系，所有元都是正则元的半群称为正则半群。
单半群
单半群是类似于单群的半群。不含零的半群若不含任何真理想，则称为单的。不含零的半群若不含任何真左（右）理想，则称为左（右）单的。含零的半群，若和本身是它的仅有的理想，且则称为零-单的。
自由半群
自由半群是指不附加任何其他条件的半群。若是一非空集合，做则
用如下定义的运算做成一个半群称是上的自由半群，记为
相关问题
半群的伯恩赛德问题：是涉及半群的一种特殊拟正则性的一个问题。1902年，伯恩赛德（Burnside,W.）提出该问题：设是一半群，在是有限生成的，且是挠的（即关于每一都存在使得为的幂等元）条件下，问是否为有限。半群的伯恩赛德问题已演变成对有限生成半群寻求其有限性的充分必要条件，1984年罗斯蒂沃（Restivo，A.）与罗特诺耶（Reutenauer,C.）给出了结果：若是一有限生成半群，则是有限的，当且仅当是挠的，且具置换性，即存在使得关于任意有元置换满足：
相关概念
环
在非空集合中定义加法“”和乘法“”运算，使得中任意元适合条件：
环在只考虑它的乘法运算的时候是一个半群，称为环的乘半群；但任何一个带零半群却未必是某个环的乘半群。
代数码
设是一有限非空集合（称为字母表），上的自由幺半群的元素（子集）称为的字（或语言）。上的一个语言若对任意有且则称为上的一个代数码。
相关定理
半群的同态基本定理
半群上同余：半群上相容于半群运算的等价关系。设是一半群，是上一等价关系。若关于任意有
则称是上的同余。
设是半群上的一个同余，则到的自然映射是从到上的一个同态。反之，若是半群到半群上的一个同态，则是上的一个同余，其中且存在到上的惟一同构使下图可换。
半群的霍尔定理
半群的霍尔定理是论及正则半群的完全拟正则性的一个结论。半群若关于每一都存在使得是的完全正则元，则称为完全拟正则的。霍尔定理：若正则半群的每一类最多只含个类（为一固定自然数），则关于每一为的完全正则元，从而是完全拟正则的。
相关推广
拓扑半群
拓扑半群是既有代数结构又有拓扑结构的一种数学结构。拓扑半群的研究始于20世纪50年代，阿尔弗雷德·华莱士（Wallace,A.D.）被公认为拓扑半群的奠基者。一个豪斯道夫空间，连同定义在其上的一个连续且可结合的二元运算所形成的数学系统称为拓扑半群。任何半群，连同其上的离散拓扑，都是拓扑半群。因此，半群是拓扑半群的特例，而有限半群则可看成是紧致半群。拓扑半群涉及幂等元的结果如下：
其中
李半群
李半群是结构与李群有关的半群。设是有边界流形上的团伙，当流形边界恰为的子伙时，称为李半群，记为半群。若含元，则拓扑同构于其中是的理想。又中乘法是可微的，当且仅当是标准的丝线。麦斯脱（Mostert,P.S.）与希尔兹（Shields,A.L.）证明：半群的边界是紧致李群，且以左平移作用于上，其轨道空间是半群。又，在中可找到半群使恰为的横截面。
应用
数学
利用半群求方程的解是近年来微分方程研究中很有意义的课题。设是矩阵其中
是对角矩阵，是的特征值是酉矩阵。
定理：其中
证明：因为令
即其中
工程技术
在研究高速飞行体飞行中出现的热防护发汗控制模型导出的自由边界问题上，引入变换将其化为发展方程，研究其相应产生的发展系统，用半群方法证明了发汗控制边值问题解的存在性，唯一性。该方法对一般抛物算子非线性自由边界问题及高维问题也适用。
生物学
在周期性血液病的研究中，血红细胞数量的变化是重要的指标之一。在对血红细胞的数量建立模型和模型分析时，考虑到细胞分裂、分化、成熟等生命过程所花费的时间，有必要在模型中加入一些时滞项，以使其更契合地描述血红细胞数量的动态变化。对一个带有时滞的血红细胞模型在平衡点处线性化，并利用泛函分析方法，将线性化模型写成抽象发展方程，借助半群理论证明了方程的适定性。对系统算子细致的谱分析，得到了本征值的渐近表达式，通过对算子的Riesz谱投影范数的渐近估计，证明系统的本征向量不能构成状态空间的基，但仍给出了方程的解在平衡点附近按照本征向量的的渐近展开。
参考资料
进击的幺半群.知乎专栏.2024-01-27